2020新教材高中数学 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算练习 新人教B版必修第四册

10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础巩固1.12(cos 30+isin 30)2(cos 60+isin 60)3(cos 45+isin 45)=()a.322+322ib.322-322ic.-322+322id.-322-322i解析12(cos30+isin30)2(cos60+isin60)3(cos45+isin45)=1223cos(30+60+45)+isin(30+60+45)=3(cos135+isin135)=3-22+22i=-322+322i.故选c.答案c2.cos2+isin23cos6+isin6=()a.32+332ib.32-332ic.-32+332id.-32-332i解析cos2+isin23cos6+isin6=3cos2+6+isin2+6=3cos23+isin23=-32+332i.故选c.答案c3.4(cos +isin )2cos3+isin3=()a.1+3ib.1-3ic.-1+3id.-1-3i解析4(cos+isin)2cos3+isin3=2cos-3+isin-3=2cos23+isin23=-1+3i.故选c.答案c4.22(cos 60+isin 60)=()a.12+32ib.12-32ic.32+12id.32-12i解析22(cos60+isin60)=2(cos0+isin0)2(cos60+isin60)=cos(0-60)+isin(0-60)=cos(-60)+isin(-60)=12-32i.故选b.答案b5.9(cos 3+isin 3)3(cos 2+isin 2)=()a.3b.-3c.3id.-3i解析9(cos3+isin3)3(cos2+isin2)=3cos(3-2)+isin(3-2)=3(cos+isin)=-3.故选b.答案b6.复数z=(sin 25+icos 25)3的三角形式是()a.cos 195+isin 195b.sin 75+icos 75c.cos 15+isin 15d.cos 75+isin 75解析z=(sin25+icos25)3=(cos65+isin65)3=cos195+isin195.故选a.答案a7.复数z=(cos 40+isin 40)6的结果是()a.12+32ib.12-32ic.-12+32id.-12-32i解析z=(cos40+isin40)6=cos240+isin240=-12-32i.故选d.答案d8.2(cos 15+isin 15)532+12i=.解析2(cos15+isin15)532+12i=2(cos15+isin15)5(cos30+isin30)=10cos(15+30)+isin(15+30)=10(cos45+isin45)=1022+22i=52+52i.答案52+52i9.12(cos 60-isin 240)6(cos 30-isin 210)=.解析12(cos60-isin240)6(cos30-isin210)=12(cos60+isin60)6(cos30+isin30)=3cos(60+30)+isin(60+30)=3(cos90+isin90)=3i.答案3i10.2(cos 210+isin 210)5(-sin 30+isin 60)=.解析2(cos210+isin210)5(-sin30+isin60)=10(cos210+isin210)(cos120+isin120)=10cos(210+120)+isin(210+120)=10(cos330+isin330)=1032-12i=53-5i.答案53-5i11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点o按逆时针方向旋转75,求与所得向量对应的复数.解所得向量对应的复数为(-2+2i)(cos75+isin75)=22(cos135+isin135)(cos75+isin75)=22cos(135+75)+isin(135+75)=22(cos210+isin210)=22-32-12i=-6-2i.能力提升1.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是,则tan(+)等于()a.3b.-33c.-1d.1解析复数2+i和-3-i的辐角主值分别是,所以tan=12,tan=13,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=1.故选d.答案d2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()a.3212ib.-3212ic.32+12id.32-12i解析-i=cos32+isin32-i的立方根为cos32+2k3+isin32+2k3(其中,k=0,1,2).当k=0时,得cos2+isin2=i.当k=1时,得cos76+isin76=-32-12i.当k=2时,得cos116+isin116=32-12i.故选d.答案d3.把复数z1与z2对应的向量oa,ob分别按逆时针方向旋转4和53后,重合于向量om且模相等,已知z2=-1-3i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是()a.-2+2i,34b.-2-2i,34c.-2+2i,4d.-2-2i,4解析由复数乘法的几何意义得,z1cos4+isin4=z2cos53+isin53.又z2=-1-3i=2cos43+isin43,z1=2cos43+isin43cos53+isin53cos4+isin4=2cos3-4+isin3-4=-2+2i,z1的辐角主值为34.故选a.答案a4.在复平面内,复数z=a+bi(ar,br)对应向量oz(o为坐标原点),设|oz|=r,以射线ox为始边,oz为终边旋转的角为,则z=r(cos +isin ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2),由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),则(-1+3i)10=()a.1 024-1043ib.-1 024+1 0243ic.512-5123id.-512+5123i解析根据复数乘方公式:zn=r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn),得(-1+3i)10=210cos1023+isin1023=1024cos203+isin203=1024-12+32i=-512+5123i.故选d.答案d5.设复数z=cos23+isin23,则11-z+11-z2=()a.0b.33ic.12d.32解析11-z+11-z2=11-z+zzzz-z2=11-z+zz-z=11-cos23-isin23+cos23-isin23-2isin23=12sin23-i2sin3cos3-cos-23+isin-233cos-2+isin-2=cos0+isin02sin3cos-6+isin-6-13cos-16+isin-16=13cos6+isin6-32+12i=33i.故选b.答案b6.设32+x2i2008=f(x)+ig(x)f(x),g(x)均为实系数多项式,则f(x)的系数之和是()a.-32b.32c.-12d.12解析取x=1,则32+x2i2008=f(x)+ig(x)cos6+isin62008=f(1)+ig(1)cos6+isin64=f(1)+ig(1)cos23+isin23=f(1)+ig(1)=-12+32i.故选c.答案c7.63(cos 135+isin 135)=.解析63(cos135+isin135)=6(cos0+isin0)3(cos135+isin135)=2cos(0-135)+isin(0-135)=4cos(-135)+isin(-135)=-22-22i.答案-22-22i8.已知复数z=cos23+isin23,则z3+z2z2+z+2=.解析根据题意,有z3+z2z2+z+2=1+z2=-z=12-32i.答案12-32i9.复数z=16(cos 40+isin 40)的四次方根分别是.解析z=16(cos40+isin40)的四次方根分别是416cos40+k3604+isin40+k3604(k=0,1,2,3),当k=0时,2(cos10+isin10);当k=1时,2(cos100+isin100);当k=2时,2(cos190+isin190);当k=3时,2(cos280+isin280).答案2(cos 10+isin 10),2(cos 100+isin 100),2(cos 190+isin 190),2(cos 280+isin 280)10.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2(0,),求z2的代数形式.解因为z1=2cos6+isin6,设z2=2(cos+isin),(0,),所以z1z22=8cos2+6+isin2+6.由题设知2+6=2k+32(kz),所以=k+23(kz).又(0,),所以=23.所以z2=2cos23+isin23=-1+3i.11.已知复数z=32-12i,=22+22i,复数z,z23在复平面上所对应的点分别为p,q.求证:opq是等腰直角三角形(其中o为原点).证明z=