2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直练习 新人教B版必修第四册

11.4.2平面与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.设平面平面,且=l,直线a,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()a.可能垂直,不可能平行b.可能平行,不可能垂直c.可能垂直,也可能平行d.不可能垂直,也不可能平行解析若al,bl,则ab,假设ab,在平面内,过a上一点p作pml交l与m,则pm,pmb.又ba,所以b,得bl,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.答案b2.给出以下四种说法:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是()a.4b.3c.2d.1解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知错,正确,故选b.答案b3.如果直线l,m与平面,满足l=,l,m,m,那么必有()a.和lmb.和mc.m和lmd.和解析由m,l,可得ml.由m,m,可得.答案a4.对于直线m,n和平面,能得出的一组条件是()a.mn,m,nb.mn,=m,nc.mn,n,md.mn,m,n解析a与d中也可与平行,b中不一定,故选c.答案c5.下列说法正确的是()过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.a.b.c.d.解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以不对;若,a,则a或a,所以不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以也不对.正确.答案d6.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点o,点p到三个面的距离分别是3,4,5,则op的长为()a.53b.52c.35d.25解析三个平面两两垂直,可以将p与各面的垂足连接并补成一个长方体,op即为对角线,op=32+42+52=50=52.答案b7.下列说法中:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有()a.b.c.d.解析对,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对,因为不垂直于棱,所以是错误的;是正确的,故选b.答案b8.已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.(1)当满足条件时,有m;(2)当满足条件时,有m.(填所选条件的序号).答案9.下列四个命题中,正确的序号有.,则;,则;,则;,则.解析正确,中,也可能平行,中,也可能相交.答案10.设和为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2)若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;(3)设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确.(2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.(3)如图(举反例),a,=l,al,但与不垂直.答案(1)(2)11.在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=ad=23,cc1=2,二面角c1-bd-c的大小为.解析连接ac交bd于点o,连接c1o,c1d=c1b,o为bd中点,c1obd,acbd,c1oc是二面角c1-bd-c的平面角,在rtc1co中,c1c=2,可以计算c1o=22,sinc1oc=c1cc1o=12,c1oc=30.答案3012.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为棱ad,ab的中点.(1)求证:ef平面cb1d1;(2)求证:平面caa1c1平面cb1d1.证明(1)连接bd.在正方体ac1中,对角线bdb1d1.又e,f为棱ad,ab的中点,efbd.efb1d1.又b1d1平面cb1d1,ef平面cb1d1,ef平面cb1d1.(2)在正方体abcd-a1b1c1d1中,aa1平面a1b1c1d1,而b1d1平面a1b1c1d1,aa1b1d1.又在正方形a1b1c1d1中,a1c1b1d1,aa1a1c1=a1,b1d1平面caa1c1.又b1d1平面cb1d1,平面caa1c1平面cb1d1.能力提升1.正方形abcd的边长为12,pa平面abcd,pa=12,则点p到对角线bd的距离为()a.123b.122c.63d.66解析如图,连接ac交bd于点o.则pabd,aobd.所以bd平面pao.所以pobd,故po为p到bd的距离.在rtaop中,pa=12,ao=62.所以po=66.答案d2.如图所示,在四边形abcd中,adbc,ad=ab,bcd=45,bad=90,将abd沿bd折起,使平面abd平面bcd,构成四面体abcd,则在四面体abcd中,下列说法正确的是()a.平面abd平面abcb.平面adc平面bdcc.平面abc平面bdcd.平面adc平面abc解析在题图中,因为bad=90,ad=ab,所以adb=abd=45.因为adbc,所以dbc=45.又因为bcd=45,所以bdc=90,即bdcd.在题图中,此关系仍成立.因为平面abd平面bcd,所以cd平面abd.因为ba平面adb,所以cdab.因为baad,所以ba平面acd.因为ba平面abc,所以平面abc平面acd.答案d3.如图,a,b,c,d为空间四点,在rtabc中,ab=2,ac=bc=2,等边三角形adb以ab为轴旋转,当平面adb平面abc时,cd=()a.3b.2c.5d.1解析取ab的中点e,连接de,ce,因为adb是等边三角形,所以deab.当平面adb平面abc时,因为平面adb平面abc=ab,所以de平面abc,又ce平面abc,所以dece.由已知可求得de=3,ce=1,故在rtdec中,cd=de2+ce2=2.答案b4.(多选题)已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()a.若m,n,m,n,则b.若,=m,n,则mnc.若m,=n,那么mnd.若m,m,=n,那么mn解析由m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,知:在a中,若m,n,m,n,则与相交或平行,故a错误;在b中,若,=m,得m,n,则由面面垂直的性质定理得mn,故b正确;在c中,若m,=n,那么由线面垂直的性质定理得mn,故c错误;在d中,若m,m,=n,那么由线面平行的性质定理得mn,故d正确.故选bd.答案bd5.(多选题)在正四面体abcd中,e,f,g分别是bc,cd,db的中点,下面四个结论中正确的是()a.bc平面agfb.eg平面abfc.平面aef平面bcdd.平面abf平面bcd解析f,g分别是cd,db的中点,gfbc,则bc平面agf,故a正确;e,f,g分别是bc,cd,db的中点,cdaf,cdbf,即cd平面abf,egcd,eg平面abf,故b正确;e,f,g分别是bc,cd,db的中点,cdaf,cdbf,即cd平面abf,cd面bcd,平面abf平面bcd,故d正确;对于选项c,假设平面aef平面bcd,由平面aef平面bcd=af,cd平面bcd,cdaf,cd平面aef,cdef,与cd,ef夹角为60矛盾,故c错误.故选abd.答案abd6.如图,边长为a的等边三角形abc的中线af与中位线de交于点g,已知ade是ade绕de旋转过程中的一个图形(a不与a,f重合),则下列命题中正确的是()动点a在平面abc上的射影在线段af上;bc平面ade;三棱锥a-fed的体积有最大值.a.b.c.d.解析注意折叠前deaf,折叠后其位置关系没有改变.中由已知可得平面afg平面abc,点a在平面abc上的射影在线段af上,正确;bcde,bc平面ade,de平面ade,bc平面ade,正确;当平面ade平面abc时,三棱锥a-fed的体积达到最大,正确.答案c7.如图,四面体p-abc中,pa=pb=13,平面pab平面abc,abc=90,ac=8,bc=6,则pc=.解析取ab的中点e,连接pe.pa=pb,peab.又平面pab平面abc,pe平面abc.连接ce,pece.abc=90,ac=8,bc=6,ab=27,pe=pa2-ae2=6,ce=be2+bc2=43,pc=pe2+ce2=7.答案78.如图所示,p是菱形abcd所在平面外的一点,且dab=60,边长为a.侧面pad为正三角形,其所在平面垂直于底面abcd,pb与平面ac所成的角为,则=.解析如图所示,取ad的中点g,连接pg,bg,bd.pad是等边三角形,pgad,又平面pad平面ac,平面pad平面ac=ad,pg平面pad,pg平面ac,pbg是pb与平面ac所成的角.在pbg中,pgbg,bg=pg,pbg=45,即=45.答案459.如图,在长方形abcd中,ab=2,bc=1,e为dc的中点,f为线段ec(端点除外)上一动点.现将afd沿af折起,使平面abd平面abc.在平面abd内过点d作dkab,k为垂足.设ak=t,则t的取值范围是.解析如图,过d作dgaf,垂足为g,连接gk,平面abd平面abc,又dkab,dk平面abc,dkaf.af平面dkg,afgk.容易得到,当f接近e点时,k接近ab的中点,当f接近c点时,k接近ab的四等分点.所以t的取值范围是12,1.答案12,110.如图,在rtaob中,oab=6,斜边ab=4,rtaoc可以通过rtaob以直线ao为轴旋转得到,且二面角b-ao-c是直二面角,d是ab的中点.(1)求证:平面cod平面aob;(2)求异面直线ao与cd所成角的正切值.(1)证明由题意,coao,boao,boc是二面角b-ao-c的平面角,cobo,又aobo=o,co平面aob,又co平面cod,平面cod平面aob.(2)解作deob,垂足为e,连接ce(如图),则deao,cde是异面直线ao与cd所成的角.在rtcoe中,co=bo=2,oe=12bo=1,ce=co2+oe2=5.又de=12ao=3,在rtcde中,tancde=cede=53=153.异面直线ao与cd所成角的正切值为153.11.如图所示,四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形,bcd=60,e是cd的中点,pa底面abcd,pa=3.(1)证明:平面pbe平面pab;(2)求二面角a-be-p的大小.(1)证