相似矩阵及二次型PPT课件

.,1,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,2,n维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.,5.1向量的内积、长度及正交性,引言,我们希望把这两个概念推广到n维向量空间中.,在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积,.,3,内积,一、内积的定义及性质,定义,.,4,性质,著名的Cauchy-Schwarz不等式,即,.,5,二、向量的长度及性质,定义,性质,(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114),.,6,单位向量,夹角.,三、单位向量和n维向量间的夹角,正交,.,7,四、正交向量组,定义,若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组又如果这些向量都是单位向量,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间V的基,又分别称为向量空间V的正交基和规范正交基.,.,8,正交向量组必线性无关.,.,9,求得基础解系(即为所求)为,.,10,(例1的一般化,也称正交基的扩张定理),设是中的一个正交向量组,证明必可找到个向量使构成的正交基.,记,必有非零解.,其任一非零解即为所求的,.,11,五、施密特正交化过程,找与等价的正交向量组,.,12,以三个向量为例,从几何直观上去求.,上式两边与做内积,注意得,从而,.,13,我们已求得已正交,再求构造,(1)式两边与内积,注意,得,(1)式两边再与内积,类似可得,从而,.,14,设线性无关,令,则两两正交,且与等价.,.,15,两两正交,可用数学归纳法严格证明.,与等价,这是因为(只需看三个),.,16,求的一个规范正交基,并求向量,解易知线性无关,用施密特正交化方法,再单位化,在该规范正交基下的坐标.,.,17,当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便,两边分别与内积,(这里就不具体计算了),.,18,六、正交矩阵,A是正交矩阵,.,19,记,证(只证第三条),.,20,性质,(1)A是正交矩阵，则和都是正交矩阵；,(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；,(3)A是正交矩阵，则；,(4)P是正交矩阵，则，,即正交变换保持向量的长度不变。,.,21,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,22,5.2方阵的特征值与特征向量,引言,如果存在可逆矩阵P使(1)式成立,此时称方阵A是可(相似)对角化的.,满足上式的称为A的特征值,称为A的对应于特征值的特征向量.,.,23,把(1)改写为,.,24,(注：第一章已求得，),称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。,由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n个特征值。,本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。,.,25,性质,又,.,26,求矩阵的特征值.,两个特征值为,问:特征向量是实的还是复的?,.,27,求A的特征值.,因此,n个特征值为,问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？,.,28,求矩阵A，B的特征值和特征向量。,解（对矩阵A）,.,29,A的特征值为,对于，解方程组,同解方程组为，令，得基础解系,因此，对应于特征值的所有特征向量为,.,30,对于，解方程组,同解方程组为，令,得基础解系,因此，对应于特征值的所有特征向量为,.,31,（对矩阵B）,B的特征值为,.,32,对于，解方程组,同解方程组为，令，得基础解系,因此，对应于特征值的所有特征向量为,.,33,对于，解方程组,同解方程组为，令，得基础解系,因此，对应于特征值的所有特征向量为,.,34,回答问题：,(1)向量满足,是A的特征向量吗？,(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?,(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值_。,，A有一个特征值为_。,(4)，A有一个特征值为_。,可逆,A的特征值一定不等于_。,.,35,(6)一个特征值对应于几个特征向量?,一个特征向量对应几个特征值?(后面证明),(7)A的各行元素之和均等于2,则A有一个特征值,是_,它对应的特征向量是_。,(5)A的特征值与的特征值有什么关系？,特征向量的个数=_。,是的一个特征值，它对应的最大无关的,.,36,证明：一个特征向量只能对应一个特征值。,证假设A的特征值和对应的特征向量都是,则,.,37,设是方阵A的特征值，对应的一个特征向量,证明,(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。,(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。,(3)当A可逆时，是的特征值，对应的,特征向量仍为x。,证,.,38,推广：,设是方阵A的特征值，,则是的特征值。,的特征值。,是,是,.,39,设3阶矩阵A的三个特征值为,求,解A的特征值全不为零，故A可逆。,的三个特征值为,计算得,因此，,.,40,证明A的特征值只能取1或2.,设是A的特征值，则,的特征值为,由于是零矩阵，其特征值全是零，故,证,.,41,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,42,5.3相似矩阵,设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,定义,特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。,.,43,性质,(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(5)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。,.,44,求x与y和A的特征值。,求a与b。,解(1),A的特征值等于B的特征值为：,.,45,(2),.,46,下面讨论对角化的问题,这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,.,47,不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。,即设是矩阵A的不同的特征值，,又设对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,则,仍是线性无关的。,.,48,上式两边左乘A得,再由线性无关得,类似可得,由假设得,.,49,.,50,(续第2节例3,首先看矩阵A),第1步求特征值,第2步求线性无关的特征向量，,即求的基础解系,.,51,第3步如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆),令,第4步写出对角化形式,则,问：如果,对吗？,.,52,(这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量),对于矩阵B不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任何一个特征向量,要么是属于的,此时与相关；要么是属于的,此时与相关。,因此，B是不可对角化的。,(再看矩阵B),.,53,设的所有不同的特征值为,则,注：就是的重根数，称之为的(代数)重数，就是对应的最大无关特征向量的个数，称之为的几何重数。,该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。,.,54,证(参考),设对应的最大无关特征向量为,把上面特征向量扩充为n个线性无关的向量。,则可逆。,.,55,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,即：设,互不同，此时,则A可对角化的充要条件是,亦即：的重数恰好等于它对应的最大无关特征,向量的个数。,简称:几重特征值有几个特征向量.,.,56,证(充分性)设,个，它们仍是线性无关的，故可角化。,把每个对应的最大无关特征向量合并后，共有,(必要性)设A可对角化,.,57,.,58,问x为何值时，A可对角化？,是单重根，恰有一特征向量(不需讨论)。,是二重根，A可对角化,.,59,提示：A可对角化,.,60,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,61,5.4(实)对称矩阵的对角化,.,62,.,63,把对称矩阵,正交对角化。,第1步:求特征值。,(特征值必都是实数),.,64,第2步:求线性无关的特征向量。,对，解方程组,求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？),.,65,对，解方程组,求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？),前面的,.,66,第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交，用施密特过程正交化，再把正交的特征向量单位化。,.,67,第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。,单位化：,则,令,.,68,提示：设对应于的无关特征向量为,的两个无关的解(基础解系)，因此，上面方程组的,任意两个无关的解都是对应于的特征向量。,解(1)可求得再正交化单位化构成正交矩阵Q,.,69,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,70,5.5二次型其次标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,.,71,.,72,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量的二次齐次函数,三维的二次型为,再改写：,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,.,73,.,74,一般地，对于n维的二次型,上式称为二次型的矩阵表示。也常记为,.,75,任给一个对称矩阵A，令可唯一地确定一个二次型,因为,设xTAx=xTBx(A,B都是对称矩阵),即(以三维为例),令类似,令,类似,.,76,对称矩阵A叫做二次型f的矩阵;,f叫做对称矩阵A的二次型;,对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.记作r(f).,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,这说明：,.,77,写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。,解,问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?,.,78,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在中取值的标准形,.,79,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换)：,代入(1)式，使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,.,80,(其中D为对角矩阵),注意到与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于,对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使,问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？,.,81,.,82,用正交变换化二次型为标准形的步骤,.,83,解,化为标准形。,求A的特征值,求二次型的矩阵,.,84,求A的规范正交的特征向量,单位化,.,85,得正交的基础解系,单位化,求正交变换矩阵,.,86,写出二次型的标准形,用正交变换，二次型f化为标准形为,.,87,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得，从而,.,88,解得,A与D有相同的特征值，分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,.,89,定义,设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使,则称A与B合同.,性质,(1)合同关系是一种等价关系；(2)A与B合同,则r(A)=r(B);(3)A与B合同,A对称,则B对称.,二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵。,在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价)。,.,90,定理,二次型必可化为规范形。,证设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:,(思考为什么一定可化为上面形式？),再做一次可逆的线性变换,则f化为,思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？,.,91,思考并回答,(1)二次型的标准形唯一吗？,(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？,(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？,(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？,.,92,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,93,5.6用配方法化二次型成标准形,配方法的步骤,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,.,94,例1,.,95,.,96,所用变换矩阵为,.,97,例2,由于所给二次型中无平方项,.,98,再配方，得,.,99,所用变换矩阵为,.,100,思考题(下面做法对吗？),得标准形为,.,101,第五章,相似矩阵及二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2方阵的特征值与特征向量,5.1向量的内积、长度及正交性,5.5二次型及其标准形,5.6用配方法化二次型成标准形,5.7正定二次型,.,102,5.7正定二次型,本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型.,在n维的二次型中,如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化，即,则称这两个二次型等价。这相当于,即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。,我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。,.,103,什么条件决定两个二次型等价？,我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.,例如与不可能等价.,因为不存在可逆矩阵C满足,因为,.,104,在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。,二次型的