2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题五第3讲知能演练轻松闯关 Word版含答案

12012山东潍坊二模已知过点a4,0的动直线l与抛物线gx22pyp0相交于b，c两点当直线l的斜率是时，412acab1求抛物线g的方程；2设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解1设bx1，y1，cx2，y2，当直线l的斜率是时，12l的方程为yx4，即x2y4，12联立error，得2y28py80，y1y2，y1y24，8p2由已知4，y24y1，acab由根与系数的关系及p0可得y11，y24，p2，抛物线g的方程为x24y2由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设lykx4，bc中点坐标为x0，y0，由error，得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0kx042k24k，xbxc2bc中垂线方程为y2k24kx2k，1kb2k12，b2故b的取值范围是2，22012河南八校联考已知椭圆的中心是坐标原点o，焦点f1，f2在y轴上，它的一个顶点为a，0，且中心o到直线af1的距离为焦距的，过点m2,0的直线l与椭圆交于不214同的两点p，q，点n在线段pq上1求椭圆的标准方程；2设|pm|nq|pn|mq|，求动点n的轨迹方程解1设椭圆的标准方程是1ab0y2a2x2b2由于椭圆的一个顶点是a，0，故b222根据题意得，af1o，sinaf1o，6ba即a2b，a28，所以椭圆的标准方程是1y28x222设px1，y1，qx2，y2，nx，y，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2直线l的方程与椭圆方程联立消去y得k24x24k2x4k280由16k44k244k280，得2b0的一个焦点是f1,0，且离心率为x2a2y2b2121求椭圆c的方程；2设经过点f的直线交椭圆c于m，n两点，线段mn的垂直平分线交y轴于点p0，y0，求y0的取值范围解1设椭圆c的半焦距是c依题意，得c1因为椭圆c的离心率为，12所以a2c2，b2a2c23故椭圆c的方程为1x24y232当mnx轴时，显然y00当mn与x轴不垂直时，可设直线mn的方程为ykx1k0由error，消去y并整理得34k2x28k2x4k230设mx1，y1，nx2，y2，线段mn的中点为qx3，y3，又x1x2，8k234k2所以x3，y3kx31x1x224k234k23k34k2线段mn的垂直平分线的方程为yx3k34k21k4k234k2在上述方程中，令x0，得y0k34k213k4k当k0时，4k43k33k3所以y0b0的左、右焦点分别为f1、f2，短轴的两端点为a、b，且四边形x2a2y2b2f1af2b是边长为2的正方形1求椭圆的方程；2若c、d分别是椭圆长轴的左、右端点，动点m满足mdcd，连结cm，交椭圆于点p，证明为定值；omop3在2的条件下，试问x轴上是否存在异于点c的定点q，使得以mp为直径的圆恒过直线dp，mq的交点若存在，求出点q的坐标；若不存在，说明理由解1由题意，得2b2c22bc，a2，2所求椭圆的方程是1x24y222证明由1知，c2,0，d2,0由题意可设cmykx2，px1，y1，mdcd，m2,4k由error，消去y并整理得12k2x28k2x8k2402x1，x18k2412k224k212k2y1kx12，4k12k2p，24k212k24k12k224k4omop24k212k24k12k2412k212k2即为定值omop3设qx0,0x02，若以mp为直径的圆恒过dp，mq的交点，则mqdp，0qmdp由2可知2x0,4k，qm，dp8k212k24k12k22x04k0qmdp8k212k24k12k2即x00，x008k212k2存在q0,0使得以mp为直径的圆恒过直线dp，mq的交点62012深圳市调研如图，已知椭圆c1ab0的离心率为，以椭圆c的左顶x2a2y2b232点t为圆心作圆tx22y2r2r0，设圆t与椭圆c交于点m与点n1求椭圆c的方程；2求的最小值，并求此时圆t的方程；tmtn3设点p是椭圆c上异于m，n的任意一点，且直线mp、np分别与x轴交于点r、s，o为坐标原点，求证|or|os|为定值解1依题意，得a2，e，ca32c，b13a2c2故椭圆c的方程为y21x242易知点m与点n关于x轴对称，设mx1，y1，nx1，y1，不妨设y10由于点m在椭圆c上，y121x214由已知t2,0，则x12，y1，x12，y1，tmtnx12，y1x12，y1tmtnx122y21x1221x214x4x135421x12548515由于2x12，故当x1时，取得最小值85tmtn15把x1代入式，得y1，故m，85358535又点m在圆t上，代入圆的方程得r21325故圆t的方程为x22y213253证明设px0，y0，则直线mp的方程为yy0xx0，y0y1x0x1令y0，得xr，同理xs，x1y0x0y1y0y1x1y0x0y1y0y1故xrxsx21y20x20