北京市高三二模理科数学分类汇编（3）导数及其应用

三、导数及其应用（选修22）1（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正101122xxf方形和，点是边上的一个动点，设abcdefpbc，则请你参考这些信息，推pxfx知函数的图象的对称轴是；函数f的零点的个数是49gx答案；2。12（2012年西城二模理19）已知函数，其中（）当21axfar时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若1ayfxxf在上存在最大值和最小值，求的取值范围xf0,a解（）当时，21a21xf21xf分由，得曲线在原点处的切线方程是302fyfx0xy分（）4分21xaf当时，02xf所以在单调递增，在单调递减5分fx,0当，0a21xaf当时，令，得，与的情况如下0f121xafxfx1,x1,22,f00efabcdp故的单调减区间是，；单调增区间是7xf,a1,1,a分当时，与的情况如下0afxf所以的单调增区间是，；单调减区间是9分fx1,a,1,a（）由（）得，时不合题意10分0a当时，由（）得，在单调递增，在单调递减，所以xf0,在上存在最大值xf0,21a设为的零点，易知，且从而时，；0xf0x01xa0xfx时，xf若在上存在最小值，必有，解得0,0f1所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是axf0,a0,112分当时，由（）得，在单调递减，在单调递增，所以0f,a,在上存在最小值xf,1若在上存在最大值，必有，解得，或f,0f1a所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是0axf0,1fx1fx2fx2,2x21,x11,xfx002fx1fx综上，的取值范围是14分a,10,3（2012年朝阳二模理18）已知函数（）若曲线2ln0afxx在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（）讨论函数yfx1,f0y的单调性；（）当时，记函数的最小值为，求证,afxga2ega解（i）的定义域为fx|0x21af根据题意，有，所以，f230a解得或3分1a32（ii）220xaxafxx（1）当时，因为，0a0由得，解得；fx2xaxa由得，解得0所以函数在上单调递增，在上单调递减fx,（2）当时，因为，0a0由得，解得；f2a2xa由得，解得xx0所以函数在上单调递减，在上单调递增9分f0,（iii）由（）知，当时，函数的最小值为，afxga且22lnln23agf，2ln3ln2gaaaa令，得来源学科网zxxk01e当变化时，的变化情况如下表ga2,e21e21e,0g0a极大值a是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值21ea,0ga点所以222211elne3最大值g3l所以，当时，成立14分,0a2ega4（2012年丰台二模理20）设函数（）当lnlfxax0a时，求函数的最小值；（）证明对x1，x2r，都有1afx；（）若，证明121212lnllnlxx1ni21llnnii,in解（）时，al1lnfxx01x则lnf令，得0x2当时，在是减函数，10fxf1,2当时，在是增函数，2x所以在时取得最小值，即4分f2lnf（）因为，lnlxax所以lnlnxfxa所以当时，函数有最小值2fx1，x2r，不妨设，则12x121211lnllnlnlnxxa8分1212xx（）（证法一）数学归纳法当时，由（）知命题成立n）假设当kn时命题成立，k即若，则1221xx122lnllnl2kkkxx当时，满足1212k12k11122kk设，11112lnllnlnkkkkfxxxx由（）得1111121222lllln2kkkkx11111122lnlnkkkkkxxxx11111222lllkkkkx由假设可得，命题成立nllkfx所以当时命题成立nk由，）可知，对一切正整数nn，命题都成立，所以若，则13分21nix21lnl2niix,i（证法二）若，22n那么由（）可得122lnllnxxx12121lnln2nxx122llnnnnnxx12121nllnnnnxx123412342121lnlnln2nnxxxxxlnn5（2012年昌平二模理18）已知函数r（）当时，axxaf,a求的单调区间（）若在上的最小值为，求的值xfxf1e,2解（）fx的定义域为x|1分03分22211xaxaxaa令，即，0fax或得1,012的增区间为（0，1），4分xa令，即，fxx,2得的减区间为5分x,（）当时，在上恒成立，1a0f1e,在恒为增函数6分xfe,，得7分2minf3舍去）a当时，令，得ea10xf1或当时，在上为减函数；xf,当时，在上为增函数；exxfea，得（舍）10分2ln1minafxf当时，在上恒成立，ea0x,e此时在恒为减函数f,，得12分21minaexea综上可知13分a6（2012年东城二模理19）已知函数（）（）试讨论1lnfxax1a在区间上的单调性；（）当时，曲线上总存在相异两fx0,13,yfx点，使得曲线在点，处的切线互相平行，求1,pf2,qxfyfpq证265解（）由已知，0x222111axaxafx由，得，4分f1a2因为，所以,且a01所以在区间上，；在区间上，,0fx,a0fx故在上单调递减，在上单调递增6分fx1a,1证明（）由题意可得，当时，（，且）3,2fxf12,x12x即，2211aaxx所以，8分12123,因为，且，所以恒成立，12,0xx212x所以，又，21214120所以，整理得11分12xa12x124xa令，因为，所以在上单调递减，g4a3,g3,所以在上的最大值为，1,65所以13分1265x7（2012年海淀二模理19）已知函数（）求21ln0fxaxa的单调区间；（）若，求证函数只有一个零点，且fx12f0x；（）当时，记函数的零点为，若对任意012a45afx0且都有成立，求实数的最大值（本题可2,x1,x21fxm参考数据）9ln07,l8,ln0594解（）的定义域为fx,a1分211axf令，或0fxa当时，函数与随的变化情况如下表1a1fxfxx,0,11a1,af00xa极小值a极大值a所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和fx,1a,a1,a3分当时，所以，函数的单调递减区间是4201xffx1,分当时，函数与随的变化情况如下表1afxfx,1a1,0a00,f00xa极小值a极大值a所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和fx1,0a,1a0,5分（）证明当时，由（）知，的极小值为，极大值12ln10afx0f为fa因为，且0lf2211faaa在上是减函数，fx1,所以至多有一个零点7分f又因为，212ln2ln10aaa所以函数只有一个零点，且9分fx0x0x解（）因为，41