单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动,2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,受迫振动,激励形式,系统在外界激励下产生的振动。,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,2.1.1振动微分方程,2.1.1振动微分方程,简谐激振力,以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为,具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：,2.1.1振动微分方程,它与激励同频，但有一个相位差,简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动,可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。,BysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotionWearriveatUsingthetrigonometricrelations,Equatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtain,Solutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:,稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。,2.1.1振动微分方程,2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,在低频区和高频区，当1的区域(高频区或惯性控制区)，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,3、1的附近区域(共振区)，急剧增大并在1略为偏左处有峰值。通常将1，即pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，1时，总有，/2,这也是共振的重要现象。,2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论,5品质因子与半功率带宽,共振(仍按考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得,品质因子与半功率带宽,在1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为和，它们的差称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到可得,品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。,例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。,解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。,转子偏心引起的受迫振动,根据达朗贝尔原理，有,=h,转子偏心引起的受迫振动,电机作受迫振动的运动方程为,当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。,阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。,幅频特性曲线和相频特性曲线,转子偏心引起的受迫振动,简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较,TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.,thedifferentialequationofmotionis,Makingthesubstitution,Eq.becomes,wherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.,Thusthesolutioncanbeimmediatelywrittenas,Responseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase,Iftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.Usingtheexponentialformofharmonicmotiongives,SubstitutingintoEq.,weobtain,and,Responseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase,Thesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationare,and,Responseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase,ResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebase,Stophereafter100minutes,幅频特性曲线和相频特性曲线,也可以不按相对运动求解（见郑兆昌机械振动），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为,即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。,2.1.3受迫振动系统力矢量的关系,已知简谐激振力,稳态受迫振动的响应为,现将各力分别用B、的旋转矢量表示。,应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成,式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。,（a）力多边形(b)z1(c)z=1(d)z1,2.1.3受迫振动系统力矢量的关系,2.1.4受迫振动系统的能量关系,从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为,周期,1.激振力,在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。,2.粘性阻尼力做的功,上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。,2.1.4受迫振动系统的能量关系,3.弹性力做的功,能量曲线,表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。,在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量,2.1.4受迫振动系统的能量关系,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为,通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即,根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为,其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。,对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,共振时的情况,假设初始条件为,由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为,此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,图共振时的受迫振动,有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为,全解为,式中,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,如果初始位移与初始速度都为零，则成为,可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,过渡阶段的响应,在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成,无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。,第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和两个不同频率简谐振动的叠加。,2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,2.1.6阻尼理论,在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即,非粘性阻尼在一个周期内消耗的能量：,粘性阻尼在一周期内消耗的能量：,得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅,利用式