上海市嘉定区2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

上海市嘉定区2019学年高一年级第一学期期中考试数学试卷一、填空题1.设全集，则用列举法表示_ .【答案】【解析】【分析】直接根据补集的定义求出集合.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查补集的定义及计算，考查对概念的理解.2.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】将不等式转化成，再利用解一元二次不等式的方法，大于取两边小于取中间求得不等式的解集.【详解】因为，解得：或，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查基本的运算求解能力，同时要注意结合一元二次函数的图象理解不等式解法.3.用列举法表示集合_.【答案】【解析】分析】由得，依次把值代入，若成立，则得到的值为集合中的元素.【详解】由得，当时，当时，当时，所以.故答案为：.【点睛】本题考查集合描述法的元素具有的性质、集合列举法表示，考查对集合概念的理解和基本运算求解能力.4.已知非空集合，且中至多有一个偶数，这样的集合m共有_个.【答案】5【解析】【分析】由中至多有一个偶数，则不同时在集合中，从而把集合的情况一一列举出来.【详解】因为非空中至多有一个偶数，且，所以或或或或，共5个.故答案为：5.【点睛】本题考查集合间的真子集关系，考查分类讨论思想的运用.5.已知，若，则或”是_命题（填“真”或“假”）.【答案】真【解析】【分析】判断原命题的逆否命题为真，从而得到原命题为真.【详解】原命题的逆否命题为：若且，则.由同向不等式可加性，所以逆否命题为真，所以原命题为真.故答案为：真.【点睛】本题考查原命题与逆否命题的等价性，如果原命题真假性不好判断，可转化成判断其逆否命题.6.如图，a,b为全集u的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合为_.【答案】【解析】【分析】直接观察文氏图得到阴影部分为：在全集下的补集与集合的交集.【详解】观察文氏图可得：阴影部分为在全集下补集与集合的交集，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用文氏图表示集合间的基本运算，考查读图的能力.7.若集合，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，可得或或或，对集合中的一元二次方程的判别式进行分类讨论，结合韦达定理可得出答案【详解】，或或或由，解得，时，满足条件若，解得，可得，解得，因此，不可能等于时，解得，若，则（不成立），舍去综上可得：实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查集合之间的基本关系、一元二次方程的解法，考查分类讨论思想、方程思想的运用，考查推理能力与计算能力8.市场上常有这样的一个规律：某商品价格越高，购买的人越少，价格越低，购买的人越多。现在某杂志，若定价每本2元的价格，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则每一本杂志的最高定价为_元.【答案】3.2【解析】【分析】设杂志的最高定价为元，总销售收入为元，根据题意列出二次函数关系式，然后解不等式，求得自变量的取值范围，进而得到答案.【详解】设杂志的最高定价为元，总销售收入为元，根据题意得：，当时，解得：，所以每一本杂志的最高定价为元.故答案为：.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查建模解决实际问题的能力，求解的关键在于列出一元二次方程，再求解不等式.9.关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，解出的三种情况，再和取公共部分，从而求得实数的取值范围.【详解】根据题意，的解为，当时，的解为，此时与显然有公共部分，所以解集不为空集.当时，的解为，此时与显然有公共部分，所以解集不为空集.当时，的解为，关于的不等式组的解集不是空集，即，解得.综上所述的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查一元一次不等式组的求解，考查分类论论思想的运用，注意对进行分类讨论后，把求得的范围进行整合.10.定义区间的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度，设，其中表示不超过的最大整数，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，=_【答案】2021【解析】【分析】先化简，再化简，再分类讨论：当时；当时；当时；当时，求得解集后，再求区间的长度.【详解】因为，即，当时，式可化为，；当时，式可化为，；当时，式可化为，显然不成立，；当时，式可化为，；综上所述：不等式的解集为，所以.【点睛】本题以取整函数、区间长度为问题背景，灵活考查不等式的求解问题，求解的关键在于读懂取整函数的意义及符号的意义，考查创新意识和创新能力，对逻辑推理能力和运算求解能力的要求较高.二、选择题11.“”是“”的 （ ）a. 充分非必要条件b. 必要非充分条件c. 充要条件d. 既非充分又非必要条件【答案】b【解析】【分析】举反例可判断充分性不成立；由，再利用真子集关系可判断必要性成立.【详解】当时，满足，但无意义，即充分性不成立，因为是的真子集，所以成立，即“”是“”的必要非充分条件.故选：b.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合集合间的关系是解决本题的关键12.已知，且则下列不等式中一定成立的是（ ）a b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用不等式的性质结合分析法，即可得到答案.【详解】对a，由于的大小关系不确定，故a错；对b，只有时，才成立，故b错；对c，因为，故c成立；对d，当时，不等式不成立，故d错.故选：c.【点睛】本题考查对不等式性质的理解和运用，属于基础题.13.不等式的解集为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由分式不等式解集的形式，可得不等式的分子与分母对应的二次方程或一次方程的根，从而求得的值.【详解】由题意，由于解当中2的位置为开区间形式，又分式不等式中参数在分母上，所以必有，易得，或，故故选：b.【点睛】本题考查已知分式方程的根求参数的值，考查对方程与不等式之间的内在联系，同时注意分类讨论思想的运用.14.设集合a=若ab,则实数a,b必满足a. b. c. d. 【答案】d【解析】试题分析：，若ab，则有或考点：1绝对值不等式解法；2集合的子集关系三、解答题15.解不等式组.【答案】【解析】【分析】分别解不等式与，最后取其交集即可【详解】由，解得或；由得：，不等式组得解集为.【点睛】本题考查分式不等式与一元二次不等式的解法，考查集合的交并运算，属于中档题16.已知函数，对任意实数都有，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】对二次项系数分成等于0和小于0两种情况讨论，当时，求出的值并进行验证；当时，抛物线开口向下，结合判别式小于0，求得的范围.【详解】当时，得或（舍去）；当解得：；综上所述：.【点睛】本题考查一元二次不等式中的恒成立问题，求解时要注意分类讨论思想的运用，即二次项系数是否为0的讨论，同时要注意运用数形结合思想进行问题求解分析.17.已知集合，（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）；【解析】【分析】（1）集合表示函数的定义域，集合表示函数的值域；（2）先求，再对集合分成空集和不为空集两种情况，最后再利用根的分布，求实数的取值范围.【详解】（1），所以.（2）当时，显然不成立，所以不可能；因为，当时，所以方程的根都在区间内，令，则综上所述：.【点睛】本题考查对集合描述法的理解、集合间的基本关系和基本运算、一元二次方程根的分布，求解时要充分利用抛物线的图象，等价写出方程根的分布的等价条件.18.已知全集, |关于的方程有正负相异的实数根，非空集合（1）求集合b；（2）求集合；（3）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围；【答案】（1），；，；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）由于集合非空，所以方程的两根必不相等，即，再对两根大小进行比较讨论；（2）解绝对值不等式得到集合，再进行集合的补运算；（3）由简易逻辑知识得：是集合的真子集，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）因为集合非空，所以，解得：，当，即时，；当，即时，；（2）由题意得：或，所以.（3）由是的必要非充分条件，所以是集合的真子集.所以或解得：或，所以实数的取值范围为：或.【点睛】本题考查一元二次方程与一元二次函数之间的关系，考查集合的基本运算，及利用集合间的基本关系判断易易逻辑中的充分条件与必要条件，考查对一元二次函数知识的综合运用.19.已知有限集，如果a中元素，满足，就称a为元“创新集”；（1）若，试写出一个二元“创新集”a；（2）若，且是二元“创新集”，求的取值范围；（3）若是正整数，求出所有的“创新集”；【答案】（1）；（2）或；（3）；【解析】【分析】（1）解方程得到一组解即可；（2）设，则一元二次方程有两个根，再根据判别式大于0，得到取值范围；（3）证明，均不存在“创新集”，同时证明时，存在唯一“创新集”【详解】（1）由“创新集”的定义得：，令，得，则；所以为二元“创新集”.（2）若，且二元“创新集”，不妨设，则由韦达定理知，是一元二次方程的两个根，由，可得或，所以或.（3）