上海市曹杨二中2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市曹杨二中2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题，(前6期每题4分，后6题每题5分，共54分)1.若(其中为虚数单位)，则_.【答案】【解析】【分析】将z的共轭复数写出来,再算出模即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了共轭复数和复数的模,注意计算的正确即可,属于基础题.2.函数的定义域是_【答案】【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.3.已知向量则与的夹角_.【答案】【解析】【分析】根据向量的夹角公式求出与的夹角的余弦值,即可得出与的夹角.【详解】与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查了向量的夹角公式,注意算出非特殊三角函数值在写夹角的时候要用反三角函数表示,不能直接写三角函数值,属于基础题.4.函数的反函数是_.【答案】【解析】【分析】求出的值域,即为的定义域,再将中的和调换位置,化简变形用表示,即可得的表达式【详解】的值域为的反函数是,化简得即故答案为：【点睛】本题考查了反函数的计算,反函数的定义域是原函数的值域,当定义域不是时,一定要写出定义域.本题属于基础题.5.数列的前项和,则的通项公式 _.【答案】【解析】【分析】根据和之间的关系,应用公式得出结果【详解】当时,；当时,；故答案为：【点睛】本题考查了和之间的关系式,注意当和时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题6.幂函数(mz)为偶函数,且在区间(0,+)上是单调递减函数,则m 【答案】1【解析】【详解】因为幂函数(mz)为偶函数，所以为偶数，因为幂函数(mz)在区间(0,+)上是单调递减函数, 所以因为mz，所以m17.展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为_.【答案】1120【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数【详解】展开式的二项式系数之和为展开式的通项公式当时,即则展开式中的系数为1120故答案为：1120【点睛】本题考查了二项式展开式的二项式系数和,和二项式展开式的通项公式,属于基础题.8.已知函数点(1,0)是其函数图象的对称中心，轴是其函数图象的对称轴，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】因为轴是其函数图象的对称轴,所以代入；(1,0)是其函数图象的对称中心,所以代入,作差即可表示出的值,再根据,即可得的最小值.【详解】轴是其函数图象的对称轴,(1,0)是其函数图象的对称中心-,得当时,有最小值故答案为：【点睛】本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式,属于基础题.9.有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_.【答案】【解析】【分析】从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.详解】从5条线段中任取3条,共有种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况；即能构成三角形的概率是,故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.10.记为不大于的最大整数，设有集合,则_.【答案】【解析】【分析】求即需同时满足a集合和b集合的x的取值范围,先根据,比较容易得出解集, 再将b集合的解集代入a集合中,判断出可以成立的值,即可得【详解】当时,当时,不满足；当时,满足；当时,不满足；当时,满足；即同时满足和的值有-1,；则故答案为：【点睛】本题考查了集合的计算,和取整函数的理解,针对两个集合求交集的情况,可先对较简单的或者不含参数的集合求解,再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.11. 已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），则第60个数对是_【答案】【解析】试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为，可知第个数对落在第11个与平行的直线上的，为.试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从点开始，各点分别落在与平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点，以此类推第三组有三个点,则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为.考点：一般数列中的项12.已知实数满足：，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题若相切，则有唯一解，两平行线与的距离所以方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数；，则已知两组数；，则所以，所以.方法三：判别式法设，将其代入，下面仿照方法一即可.方法四：整体换元根据对称性，不妨设，设，则，且方法五：三角换元由对称性，不妨设（为锐角）所以所以的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面二、选择题 (每小题5分，共20分)13.抛物线的焦点坐标（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由抛物线方程知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为 ，所以选b。14.己知是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（ ）a. 已知，若，则b. 已知，若，则c. 已知，若，则d. 已知，若，则【答案】d【解析】【分析】a. n和m方向无法确定,不正确；b. 要得到,需要n垂直于平面内两条相交直线,不正确；c. 直线n有可能在平面内,不正确；d. 平行于平面的垂线的直线与此平面垂直,正确.【详解】a. 一条直线与一个平面平行,直线方向无法确定,所以不一定正确；b. 一条直线与平面内两条相交直线垂直,则直线垂直于平面, 无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线,所以不一定正确；c. 直线n有可能在平面内,所以不一定正确；d. ,则直线n与m的方向相同,则,正确；故选：d【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断,遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.15.己知函数，则（ ）a. 仅有有限个m，使得有零点b. 不存在实数m,使得有零点c. 对任意的实数m，使得有零点d. 对任意的实数m,使得零点个数为有限个【答案】c【解析】【分析】根据函数解析式利用辅助角公式化简成,将看成一个整体,取值范围为,令,得,由得有无数解.详解】令,得又的取值范围为对任意的实数m,都有无数解.即对任意的实数m,使得有零点.故选：c.【点睛】本题考查了辅助角公式的化简运用,遇到的形式时,首先化为,再去计算要解答的问题.本题属于中等题.16.已知是数列的前项和,且,若，则的最小值（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先将化简成的形式,再分奇偶不同的情况,用并项求和法求出的值,和累加法求出的值,代入即可将用表示出来,最后化简得,根据基本不等式或二次函数的最值,求出的最小值是4【详解】由得,由奇数平方和公式得,. 当n为奇数时,两式作差得,则,累加得,由自然数平方和公式得,则又,根据基本不等式,当且仅当,即时,即的最小值是4,故选：b【点睛】本题考查了并项求和法、累加法、基本不等式的综合运用,尤其当奇偶项通项公式不同(或者符号不同)时,要分n为奇数和n为偶数的情况去讨论,得到通项公式更简单的形式,再去化简.另外当求取值范围的表达式中含有超过一个未知数时,需通过消元法或者基本不等式针对表达式变形.本题属于难题.三、解答题：(共76分)17.如图所示，在长方体中， 为棱上点.(1) 若，求异面直线和所成角的大小；(2) 若，求证平面.【答案】(1) ；(2)证明详见解析.【解析】【分析】(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值；(2) 时,由勾股定理逆定理得,由此能证明平面.【详解】(1),是异面直线和所成角,在长方体中,平面,m为棱上一点,即异面直线和所成角的大小为.(2) 时,.,又,平面.【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为,过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，的周长为，椭圆上一点与连线的斜率之积（点不是左右顶点）.（1）求该椭圆方程；（2）已知定点,求椭圆上动点n与m点距离的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的周长为8求得a,然后结合求得b点的值,则椭圆方程可求; （2）设出n的坐标,利用两点间的距离公式得到关于n的纵坐标的函数,然后分类求出椭圆上动点n与m点距离的最大值.【详解】（1）如图,由的周长为8,得,即.,设,则.又,得,即,.则椭圆方程为:. （2）设椭圆上,又,.则当时, .即求椭圆上动点n与m点距离的最大值为【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,训练了利用配方法求函数的最值,是中档题.19.某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位m），如示意图，垂直放置的标杆bc高度h=4m，仰角abe=，ade=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出h的值（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，-最大【答案】（1）124m.（2）55m.【解析】【详解】(1)由及abbdad，得，解得h124.因此，算出的电视塔的高度h是124m.(2)由题设知dab，得tan.由abadbd，得tan，所以tan()，当且仅当d，即d55时，上式取等号所以当d55时，tan()最大因为0，则00即可,即实数的范围为（3）设,且当时,无解设,且,则,当时,无解若,又当时,一定有解又,即令或0又且即a的取值范围为.【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法、二次函数最值的求法,遇到二次函数的性质不熟悉时,还可以采取画图的方法研究，写过程时详细地讨论.本题属于中等题.21.已知数列和,记.(1)若，求；(2)若，求关于m的表达式；(3)若数列和均是项数为项的有穷数列.，现将和中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到.求证：对于给定的，的所有可能取值的奇偶性相同.【答案】(1) ,；(2) ；(3)证明详见解析.【解析】【分析】(1)将的值算出,代入即可；(2)遇绝对值要去绝对值,讨论的正负,分成两种情况去求的表达式；(3)因为交换和的值,的值不