上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）

上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）一、填空题1.函数的定义域是_.【答案】【解析】试题分析：要使有意义，则，即，即该函数的定义域为；故填考点：函数的定义域2.方程的解为_.【答案】【解析】【分析】解对数方程，首先要注意对数真数要大于0，再解方程即可得解.【详解】解:解方程,可得,所以, 解得,即,故答案为: .【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.3.如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于_【答案】【解析】【详解】正方体中，连接交于点m，连接，由题可得：，,所以直线平面,所以直线与平面所成的角等于,设正方体的边长为，所以，所以,所以【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。4.已知角终边经过点 (始边为轴正半轴)，则_.【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义可得：，由正弦的二倍角公式可得：，再代入运算即可.【详解】解：因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得，则，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题.5.在的展开式中，常数项等于_.（结果用数值表示）【答案】【解析】分析】先求出二项式的展开式的通项公式为，再令，求解代入运算即可.【详解】解：由二项式的展开式的通项公式为，令，解得，即在的展开式中，常数项等于，故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.6.若，且，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】根据题意，由于，且，那么可知12xy2,xy,因此答案为.考点：均值不等式运用点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。7.已知幂函数的图象经过点，则它的反函数为_.【答案】【解析】【分析】由函数为幂函数，设，将已知条件代入可得，,再用表示，从而求得函数的反函数.【详解】解：因为函数为幂函数，设，则，则，即幂函数解析式为，,即 ，即函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查了幂函数及反函数的求法，属基础题.8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有_种.（用数值表示）【答案】30【解析】【分析】由题意可知，任取5个不同的数，中位数为4，则等价于应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，再结合组合知识求解即可.【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4，则应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，即不同的取法有，故答案为：30.【点睛】本题考查了排列、组合的有关知识，重点考查了中位数的概念，属基础题.9.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】先由扇形的圆心角为、面积为，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：由扇形的面积公式有：，解得 ，由弧长公式有，即，即该圆锥的母线长为，底面圆周长为 ，即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为，由圆锥的体积公式可得，故答案为：.【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式，重点考查了运算能力，属基础题.10.在中，内角、的对边分别为、，若，则的面积的最大值等于_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理及重要不等式可得，再结合三角形面积公式即可得解.【详解】解：因为，由正弦定理可得，所以，又，所以，由余弦定理可得 可得，即，当且仅当=2时取等号，即，又，所以，即的面积的最大值等于，故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，重点考查了重要不等式，属中档题.11.在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的： 偶函数在区间（）上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的； 周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】先阅读题意，再将问题转化为求函数的值域，再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.【详解】解：因为的周期为，且为偶函数，则由题意可得：的值域即为的值域，又，又因为，所以，则当时，函数取最大值，又 ，则函数最小值为2，即函数的值域为，即函数的值域为，故答案为：.【点睛】本题考查了函数性质的应用，考查了三角函数值域的求法，属中档题.12.定义在实数集上的偶函数满足，则_.【答案】【解析】【分析】先由已知可得，再构造，然后可得函数的周期性和奇偶性，再利用函数的性质得，再求解即可.【详解】解：因为，所以，即，即，令，则，可得函数的周期为2，所以，又为偶函数，则为偶函数，又因为，所以，即，即，解得，又，即，即，故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型.二、 选择题13.已知，则“” 是“”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 非充分非必要条件【答案】a【解析】【分析】由的平方关系：运算即可得解.【详解】解：由，当 “”时 可得“”，当“”时可得“”，即“” 是“”的充分不必要条件，故选a.【点睛】本题考查了的平方关系，重点考查了充分必要条件的判定，属基础题.14.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分选出的5人为2女3男，和3女2男两种情况讨论即可.【详解】解：从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，当选出的5人为2女3男时，共有不同选法为种，当选出的5人为3女2男时，共有不同选法为种，即从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种，故选：d.【点睛】本题考查了排列组合中的分类原理，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.15.已知二面角是直二面角，为直线，为平面，则下列命题中真命题为（ ）a. 若，则b. 若，则c. 若，则d. 若，则【答案】d【解析】【分析】由二面角是直二面角，则，再结合空间中的线面关系，线线关系，线面垂直、平行的性质定理，判定定理 判断即可得解.【详解】解：对于选项a，若，则与相交或或，即a错误；对于选项b，若，则或，即b错误；对于选项c，若，则与相交或或，即c错误；对于选项d，若，则，即d正确，故选：d.【点睛】本题考查了空间线线、线面、面面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.16.记有限集合中元素的个数为，且，对于非空有限集合、，下列结论： 若，则； 若，则； 若，则、中至少有个是空集； 若，则；其中正确结论的个数为（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】先阅读题意，取特例 ,可得错误，由集合中元素的互异性可得正确.【详解】解：对于，取 ,满足，但不满足，即错误；对于，因为，由集合中元素的互异性可得，即正确；对于，取 , 满足，但不满足、中至少有个是空集，即错误；对于，则集合中无公共元素，则，即正确；综上可得正确，故选：b.【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集的运算，属中档题.三、解答题17.在正三棱柱中，分别为棱，的中点，去掉三棱锥得到一个多面体，已知，.（1）求多面体的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，再结合棱锥与棱柱的体积公式求解；（2）由平行线的传递性可得（或其补角）为异面直线与所成角，然后在中求解即可.【详解】解：（1）由图可知,故多面体的体积为； （2）因为, ,所以,则（或其补角）为异面直线与所成角，在中， ,则 ,即，故异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查了棱锥与棱柱的体积公式及异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属中档题.18.上海市生活垃圾管理条例于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？【答案】（1）200吨；（2）.【解析】【分析】（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件；（2）先列出每月获利元与分类处理量的函数关系，再求解即可得解.【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量，即，又 ，当且仅当，即时取等号，故时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）设该小区每月获利为元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本， 令，解得，又，即，故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.19.已知是实常数，函数.（1）若，求证：函数是减函数；（2）讨论函数的奇偶性，井说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当，偶函数；当，奇函数，当，非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）利用定义法，设，证明，即可得函数为减函数；（2）分别讨论的值，观察或是否恒成立.【详解】解：（1）当时， 设， 则，又，即 ，即，即，故当时，函数是减函数；（2）由（1）可得，函数的定义域为， 因为，所以，则，显然当时，即，即函数为奇函数，则，显然当时，即，即函数为偶函数，当且时，且，即函数为非奇非偶函数.故当时，即函数为奇函数，当时，函数为偶函数，当且时，函数为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性，属中档题.20.如图是函数一个周期内的图象，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求函数和的解析式；（2）若，求的所有可能的值；（3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和.【答案】（1），；（2）或1；（3）当时，；当时，；当时，171.【解析】【分析】（1）由三角函数图象求得，再由三角函数图象的平移可得；（2）由，解得或,再求解即可；（3）先解得，再讨论与1的大小关系，再解三角方程，结合正弦函数图象的对称性求各零点之和即可.【详解】解：（1）由图可知,即，即，则，又，又，所以，故，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数解析式为，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，即，；（2）当，即，解得即或,即或或（）当时，所以，当时，当时，故的所有可能的值为或1；（3）令，即，即，解得，又因为，又，所以 ，当时，由函数的对称轴方程可得在，()有两个解，且两解之和,则在根之和为，当 ，即时，方程无解，当 ，即时，方程的解为 ，(),则在的根之和为，当 ，即时，方程在，()有两个解，且两解之和,则在的根之和为，综上可得：当时，函数在区间内的所有零点之和为. 当时，函数在区间内的所有零点之和为. 当时，函数在区间内的所有零点之和为.【点睛】本题考查了利用三角函数图象求解析式、三角函数图象的平移及解三角方程，重点考查了三角函数图象的性质，属难度较大的题型.21.对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；（2）求证：函数（）是带状函数；（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.【答案】（1）是，带宽；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先理解带状函数的特征，再求函数的值域即可得解；（2）由函数，（）的图像表示双曲线 在第一象限的部分，再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线；（3）由分段函数的图像特征，结合带状函数的定义，分别证明充分