同济高数总复习下PPT课件

.,1,总复习,.,2,1.多元函数的导数,设二元函数则因变量对某一个变量的偏,例1设求,解由定义得,一、多元微分,导是将其余变量视为常量的导数.,.,3,例2设,解由复合函数的导数公式,得,求,.,4,在偏导计算过程中,要注意的是如何按定义计算函数,例3求函数,的偏导.,解当时,在一点的导数.,.,5,.,6,当时,同理:,.,7,2.高阶偏导,由于偏导本质上是一元函数的导数,故偏导函数仍然是,多元函数,由此可以定义高阶导数.对二元函数,高阶导数为,.,8,例4设,解由例2,知,所以,求二阶偏导.,.,9,在上例中看到,在二阶偏导连续的条件下,有,.,10,3.全微分,定义对函数对自变量的增量,若全增量具有表达式,其中则称函数为可微的,相应的微,相应的因变量的全增量为,分记为,.,11,可微的条件,微分计算公式,若函数有连续偏导,则,.,12,例5设,解由例2知,故,求,.,13,例6讨论例3中的函数在原点的可微性.,解由例3知,从而有,由此得,.,14,即有函数在原点可微分,且有,.,15,4.复合函数的导数,设二元复合函数,其中函数均有所需要的各阶偏导数,则,.,16,例7设,解令则,由导数公式,求,.,17,例8设,解令则,所以,其中为类函数,求二阶偏导.,.,18,.,19,5.隐函数的导数,一个方程确定的隐函数,隐函数存在定理若函数满足,则在点的某一邻域,由方程可,确定一个类函数且有,函数有对各个变量的连续偏导数;,.,20,例9设二元函数由方程确,解令则,故由公式得,定,求,.,21,例10设函数,是由方程,确定,求,解令,则:,所以:,.,22,.,23,例11设方程,确定是的函,数,证明,证令,则:,所以:,.,24,因而,.,25,.,26,方程组确定的隐函数,隐函数存在定理设四元函数,函数对各个变量具有连续的偏导,则方程组在点的某个邻,满足,.,27,域内能唯一地确定一组函数组满足条,件并有相应的导数公,式.,.,28,例12设方程,求,解方程两边对求导,则有,上式的第二式乘再两式相减得,确定隐函数,.,29,从而有,同理有,由对称性得,.,30,6.方向导数与梯度,设二元函数为可微函数,是与同,向的单位向量,则函数在点处沿方向的方向导数,为:,梯度为,由此得:,.,31,处的外法向量,求,例13设是曲面,解令,因取外法线方向,故,导数.,则:,在点,在点处沿的方向,.,32,所以:,又:,.,33,从而:,.,34,处沿哪个方向的方向导数最大？并求此最大值.,例14函数,解因为梯度方向即为最大方向导数方向.,在点,.,35,为最大方向导数方向.,最大方向导数为,.,36,二、多元微分的应用,1.几何应用,曲线的切线与法平面方程,设曲线由参数方程给出:,.,37,点则曲线在该点处的切线和法平,切线,法平面,面方程为,.,38,若曲线有一般方程给出,则切线可视为两切平面的交线.,曲面的切平面与法线,设曲面方程为点,切平面,则切平面方程与法线方程为,.,39,法线,.,40,例15在曲线上,求与平面,解设切点所对应的参数值为故相应的切向量为,即,平行的切线.,由已知条件得切向量与平面的法向垂直,即有,.,41,故切点为和切向量为,和相应的切线方程为,和,.,42,例16求曲面,的切平面方程.,解设切点为,上平行于平面,则该点的法向量为:,由条件两平面平行,即有:,有:,代入曲面方程有:,因而切点为:,.,43,故所求切平面为,.,44,例17求曲面,解设切点为,的切平面,使之过,且与直线,平行.,则该点的法向量为,因平面与直线平行,故平面的方向与直线的方向垂直,即,设切平面方程为,即,.,45,又点在平面上,即有,联立方程:,解之得,相应的切平面方程为,.,46,二元函数的极值,设二元函数为类函数,求极值.,1.求函数的一阶和二阶偏导;,2.令求函数的所有驻点;,3.对函数的所有驻点,计算的符号,若,.,47,.,48,例18设由,解方程两边求导,得,令则有方程组,确定,求函数的极值.,.,49,解此方程组,得再代入原方程,有驻点,对上述驻点,解此方程组,并注意到一阶偏导为零,有,在上面两个方程中,继续求导,得,.,50,此时,的极小值点,极小值为,此时所以是,的极大值点,极大值为,所以是,.,51,条件极值,问题求函数在条件下的极值.,方法1.构造函数,2.解方程组,3.对方程的解进行讨论.,.,52,例19求椭圆的长半轴和短半轴之,解椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短,相应的方程组为,长.,距离.故作函数,.,53,由条件容易知道:于是有,令即有,.,54,解之得再代入曲线方程,得,故两半轴之长分别为,.,55,二、重积分,1.二重积分的计算,在直角坐标下的计算,.,56,在极坐标下的计算,一般坐标变换,.,57,例20计算积分,解积分区域如图.因被积函数的原函数不是初等函数,故不能直接积分.首先交换积分次序:,.,58,.,59,例21计算积分,及直线围成的平面区域.,解,其中由双曲线,.,60,例22计算积分,解,其中,.,61,2.三重积分的计算,在直角坐标下三重积分的计算,先1后2的积分:,.,62,先2后1的积分,利用柱面坐标计算三重积分,.,63,利用球面坐标计算三重积分,.,64,例23计算积分,绕轴旋转一周所成的曲面再与所围成的立体.,解1,其中由,.,65,所以,积分,解2利用柱面坐标,.,66,例24计算积分,及所围成的区域.,解利用球面坐标,其中是由曲面,.,67,3.重积分的应用,曲面面积设空间曲面,空间立体的质量与重心坐标的计算:设空间几何形,体密度函数为则质量和重心坐标,则曲面的面积为,分别为,.,68,.,69,三、曲线积分与曲面积分,1.曲线积分,第一类曲线积分,计算方法:若,.,70,则有,第二类曲线积分,计算方法若,.,71,则有,.,72,例25求积分,解,其中,.,73,例26求八分之一的球面,解曲线弧的质量为,设中心坐标为则,的边界曲线的重心（）.,.,74,由对称性知即重心坐标为,.,75,例27求,其中取逆时针方向.,解由积分公式得,.,76,所以,原积分为,.,77,2.曲面积分,第一类曲面积分,计算方法:,第二类曲面积分,.,78,积分方法:,其中,上侧取正,下侧取负.,.,79,例28设为椭球面,为在点处的切平面,为点,到平面的距离,求,解由条件知切平面方程为,则,的上半部分,点,.,80,因曲面方程为,因而,所以,.,81,.,82,例29计算积分,上半球面取上侧.,解,其中为,.,83,.,84,所以,.,85,三个重要公式,格林公式,并且曲线积分与路径无关,高斯公式,.,86,斯托克斯公式,.,87,例30设函数在平面上有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,且对任意,求,解由曲线积分与路径无关的条件,得,恒有,.,88,故,又,两边求导,得,故即,.,89,例31求,其中为正的常数,为从点沿,解添加弧段因,到点的一段弧.,.,90,由格林公式,所以,.,91,例32计算积分,其中取上侧.,解作辅助曲面并取下侧,则,所以,.,92,.,93,例33求,解作取下侧,则,其法向与轴的正向夹角为锐角.,所以,其中,.,94,而,.,95,由此得到,.,96,例34求其中,是曲线从轴正向看是顺时针方向.,解取曲面为平面被柱面所割下部分,并,取下侧,则有,.,97,.,98,四、无穷级数,1.数项级数,设级数部分和若,则级数是收敛的,且,.,99,正项级数,正项级数收敛性的判定,比较判别法及极限形式;,比值判别法;,根值法.,交错级数,交错级数收敛性判定定理.,.,100,绝对收敛性,.,101,例35讨论级数的收敛性.,解因,故级数收敛.,.,102,例36讨论级数,解因,又,的收敛性.,.,103,所以级数绝对收敛.,.,104,例37讨论级数的收敛性.,解因,考虑级数显然有,.,105,又,从而级数收敛,又发散,故原级数,发散.,.,106,例38讨论级数的收敛性.,解令,又,故原级数条件收敛.,.,107,2.幂级数,求幂级数的收敛半径,比值法设幂级数则收敛半径为,根值法,.,108,泰勒级数和麦克劳林级数,基本展开式,.,109,函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数,求和函数.,.,110,例39求幂级数,解容易得到收敛域为在收敛范围中令和函数为即,的收敛域和和函数.,.,111,所以,由此得到,.,112,例40求,解容易得到收敛域为令和函数为则,的收敛域及和函数.,.,113,.,114,例41将函数,解因,又,故,展开成及的,幂级数.,.,115,所以,.,116,.,117,例42将函数,展开成的幂级数.,解因,所以,.,118,两边积分,得,.,119,例43求,解利用比值法直接求出相应的收敛半径.因,故当级数