四川省成都市青羊区石室中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）

四川省成都市青羊区石室中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求解出集合，根据子集判定可得结果.【详解】由题意知：，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.已知为虚数单位，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用的周期求解.【详解】由于，且的周期为4，所以原式=.故选：d【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题：，命题：若，则，则以下命题正确的为（ ）a. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”b. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”c. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”d. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”【答案】b【解析】【分析】根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。【详解】的否定为“，”，的否命题为“若，则”故选：b【点睛】本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。4.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若，成等比数列，则（ ）a. b. 35c. d. 25【答案】c【解析】【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为，成等比数列，所以，因此,选c.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.5.中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x5，y2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）a. yxb. yxc. xyd. xy【答案】c【解析】【详解】解：模拟程序的运行，可得x5，y2，n1x，y4不满足条件，执行循环体，n2，x，y8，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n3，x，y16，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n4，x，y32，此时，xy，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4可得程序框图中的 中应填xy？故选：c6.设函数，则满足的的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据得到，讨论的范围解得答案.【详解】函数，得到 当时：解得，即当时：解得，即综上所述： 故答案选d【点睛】本题考查了分段函数的计算，分类讨论是一个常用的方法.7.若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】试题分析：曲线可化为，所以图象是以原点为圆心，为半径的圆，且只包括轴上方的图象，而直线经过定点，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点时，正好有两个交点，此时的，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为，故选c.考点：1、直线方程；2、直线与圆位置关系；3、直线的斜率.8.已知，则，的大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案【详解】由题得，又，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增。，即，因此，故选c【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题9.已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案【详解】，又，又，故选b【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉10.函数的零点的个数是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】将函数因式分解.利用导数求得函数的单调区间，判断出函数零点个数.由此判断出零点个数.【详解】依题意，故是函数的零点.构造函数，注意到，且，所以在上递增，只有唯一零点.所以有两个零点或.故选b.【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.11.已知双曲线（）的焦距为4，其与抛物线交于 两点，为坐标原点，若为正三角形，则的离心率为（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】设的边长为，则，利用在抛物线上可得，把代入双曲线方程，结合可求出，从而得到双曲线的离心率.【详解】设的边长为，由抛物线和双曲线均关于轴对称，可设， 又，故，所以，故，又，即，解得，则故选：c【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组12.已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）a. 11b. 13c. 15d. 17【答案】c【解析】【分析】先根据x为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，判断为正奇数，再结合f（x）在区间上单调，求得的范围，对选项检验即可【详解】由题意知函数 为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，nz，2n+1f（x）在区间上有最小值无最大值，周期t（），即，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当15时，由题意可得15+k，函数为yf（x）sin（15x），在区间上，15x（，），此时f（x）在时取得最小值，=15满足题意则的最大值为15，故选：c【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列满足，则_.【答案】100【解析】【分析】根据所给等式，化简变形即可知道数列为以1为首项为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求出答案。【详解】因为，又.所以数列为以1为首项,为公比的等比数列，即故填：100【点睛】本题考查等比数列的定义、等比数列的通项，解本题的关键在于：熟练掌握对数的运算性质，将所给等式化简为等比数列的定义形式，属于基础题。14.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_【答案】【解析】【分析】先根据单调性判断出的正负，然后根据奇偶性判断出的可取值.【详解】幂函数在上递减， ，即又因为为奇函数， 故答案为：.【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在递增，若幂指数小于零时，则幂函数在递减.15.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】由到准线的距离为2，可求出，抛物线：，再利用，点的坐标，即可求出直线，联立直线与抛物线则可求出点的坐标，再利用，即可得出答案。【详解】因为到准线的距离为2，所以，抛物线：， .设，因为，即所以，代入直线：所以直线为：由 所以 ，所以， ，所以故填：【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，是上的点，平分，.（1）求；（2）若，求的长【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可 （2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，在中，又因为，.（2），由正弦定理得，设，则，则.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分10（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记表示总收人，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）人数304010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为（2）（3）220元【解析】【分析】（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群有12种结果，问题得解。（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为.（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：，共12种，所以所求概率为.（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为元；按调整起征点后应纳个税为元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元.【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。19.如图，在四棱锥中，是的中点，是等边三角形，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥与三棱锥的体积之比.【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】(1)要证线面垂直，需在平面内找两条相交直线，证明它们与垂直.(2)分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比.【详解】（1）证明：取的中点为，连接，设交于，连接.，四边形与四边形均为菱形.，.为等边三角形，为中点，.平面平面且平面平面，平面且，平面.平面，.，分别为，的中点，.又，平面.（2）.【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.20.已知函数（为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，对，.【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据其正负讨论单调性，需按与的大小分类讨论.(2)要证，即证，结合(1)中的单调性对的最小值进行分析即可.【详解】（1），由得或.当时，函数在内单调递增.当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.（2）证明：要证，即证，.由（1）可知，当，时，.，.设，则，在单调递增，故，即.当时，函数在单调递增，.当时，由（1）可知，时，.又，.综上，当时，对，.【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.21.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为()求椭圆的方程；()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点p，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程【答案】() () y=x-1【解析】【分析】（）由椭圆c：1（ab0）过点a（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆c的方程（）设直线l的方程为yx+m，p（3，yp），由，得4x2+6mx+3m230，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知