福建省三明市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）

福建省三明市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）本试卷共6页.考试时间:120分钟，满分:150分注意事项:1.本试卷包括必考题和选考题两部分，第3、8、22为选考题，考生可在a,b两题中任选一题作答:其他试题为必考题，每个试题考生都必须作答.2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卷上.考生作答时，将答案答在答题卷上，请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1.已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）2i，则z（）a. 1+ib. 1ic. 1id. 1+i【答案】a【解析】【分析】对复数式子进行计算化简，得到答案.【详解】因为所以故选a项.【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题.2.用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（）a. x1b. x1c. x22x30d. x22x30【答案】c【解析】【分析】根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.【详解】命题“若，则”，要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，所以正确的反设为，故选c项.【点睛】本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.3.在平面直角坐标系xoy中，圆c1：经过伸缩变换后得到线c2，则曲线c2的方程为（）a. 4x2+y21b. x2+4y21c. 1d. x21【答案】c【解析】分析】根据条件所给的伸缩变换，反解出和的表达式，然后代入到中，从而得到曲线.【详解】因为圆，经过伸缩变换所以可得，代入圆得到整理得，即故选c项.【点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.4.已知ab，则下列不等式一定正确的是（）a. ac2bc2b. a2b2c. a3b3d. 【答案】c【解析】【分析】分别找到特例，说明a，b，d三个选项不成立，从而得到答案.【详解】因为，所以当时，得到，故a项错误；当，得到，故b项错误；当时，满足，但，故d项错误；所以正确答案为c项.【点睛】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.5.函数y的图象大致为（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.【详解】因为，其定义域为所以，所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除a、c项，当时，所以d项错误，故答案为b项.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.6.甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，则不同的排法种数为（）a. 48b. 60c. 72d. 120【答案】c【解析】【分析】因为甲和乙不能相邻，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.【详解】甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在这3人之间的4个空里，所以不同的排法种数为，故选c项.【点睛】本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.7.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用22列联表，由计算可得k24.236p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，可得正确的结论是（）a. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”b. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”c. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”d. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”【答案】a【解析】【分析】根据题意知观测值，对照临界值得出结论.【详解】利用独立性检验的方法求得，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”故选a项【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题8.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本，现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人，每人一本，并请这4个人在得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是（）a. 数学、物理、化学、英语b. 物理、英语、数学、化学c. 数学、英语、化学、物理d. 化学、英语、数学、物理【答案】d【解析】【分析】根据甲说的和丁说的都错误，得到物理书在丁处，然后根据丙说的错误，判断出数学书不在甲处，从而得到答案.【详解】甲说：乙或丙得到物理书；丁说：甲得到物理书因为甲和丁说的都是错误的，所以物理书不在甲、乙、丙处，故物理书在丁处，排除a、b选项；因为丙说：数学书被甲得到，且丙说的是错误的，所以数学书不在甲处，故排除c项；所以答案选d项.【点睛】本题考查根据命题的否定的实际应用，属于简单题.9.在极坐标系中，曲线c1的极坐标方程为2sin，将曲线c1绕极点o顺时针旋转得到出线c2，设射线与曲线c1和曲线c2分别交于a，b两点（除极点外），则|ab|等于（）a. 1b. 1c. 1d. 【答案】b【解析】【分析】由题意求得曲线的极坐标方程，把分别代入曲线和曲线的极坐标方程，求得与的值，则答案可求【详解】解：曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，把分别代入和，可得，所以，故选b项.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，以及极坐标下求两点间距离，属于简单题.10.若|x1|x|x+1|，则（）a. x1b. x1c. x1d. x【答案】a【解析】【分析】对按照，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.【详解】当时，即，解得所以当时，即解得或所以当时，即解得所以综上所述，故选a项.【点睛】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.11.某校学生一次考试成绩x（单位：分）服从正态分布n（110，102），从中抽取一个同学的成绩，记“该同学的成绩满足90110”为事件a，记“该同学的成绩满足80100”为事件b，则在a事件发生的条件下b事件发生的概率p（b|a）（）附：x满足p（x+）0.68，p（2x+2）0.95，p（3+3）0.99a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用条件概率公式，即可得出结论.【详解】由题意，所以，故选a项.【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.12.已知直线y3x1与曲线yax+lnx相切，则实数a的值为（）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】对函数求导，设切点，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于和的方程组，解出的值.【详解】设切点，因为，所以所以切线斜率则切线为整理得又因为切线方程为所以得，解得故选b项.【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.13.已知（ax）5的展开式中含x项的系数为80，则（axy）5的展开式中各项系数的绝对值之和为（）a. 32b. 64c. 81d. 243【答案】d【解析】分析】由题意利用二项展开式的通项公式求出的值，可得即，本题即求的展开式中各项系数的和，令，可得的展开式中各项系数的和【详解】的展开式的通项公式为令，求得，可得展开式中含项的系数为，解得，则所以其展开式中各项系数的绝对值之和，即为的展开式中各项系数的和，令，可得展开式中各项系数的和为.故选d项.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题14.已知函数f（x）（3x2）ex+mxm（m1），若有且仅有两个整数使得f（x）0，则实数m的取值范围是（）a. （，2b. ，）c. ，）d. 1，）【答案】b【解析】【分析】设，利用导数研究其单调性，作出图象，再由恒过定点，数形结合得到答案【详解】设，则，单调递减，单调递增，取最小值，直线过定点，而，要使有且仅有两个整数使得，则，即实数的取值范围为.故选b项.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.二、填空题：本题共4小题中，每小题5分，共20分，15.（x2+sinx）dx_【答案】【解析】【分析】根据定积分的运算公式，得到答案.【详解】【点睛】本题考查定积分的基本运算，属于简单题.16.随机变量xb（3，p），p（x2），则e（x）_【答案】1【解析】【分析】推导解得，再根据二项分布的数学期望公式，可得的值.【详解】因为随机变量，所以解得所以.【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17.五名毕业生分配到三个公司实习，每个公司至少一名毕业生，甲、乙两名毕业生不到同一个公司实习，则不同的分配方案有_种【答案】114【解析】【分析】将5人按照1,1,3和2,2,1分组，分别得到总的分组数，再减去甲乙在同一组的分组数，然后在对所得到的的分组情况进行全排列，得到答案.【详解】先将五名毕业生分成3组，按照1,1,3的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，按照2,2,1的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，所以符合要求分配方案有种，故答案为.【点睛】本题考查排列组合中的分组问题，属于中档题.18.已知函数f（x）e2x+2f（0）exf（0）x，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）xex+a恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】（，0【解析】【分析】令，得到，再对求导，然后得到，令，得到，再得到，然后对，利用参变分离，得到，再利用导数求出的最小值，从而得到的取值范围.【详解】因为所以令得，即，而令得，即所以则整理得设，则令，则所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以所以的范围为，故答案为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和函数思想，属中档题三、解答题：本题共5小题，共70分19.已知为虚数单位，复数满足，（1）求（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，若是直角，求实数的值【答案】（1）z3+4i；（2）c8【解析】【分析】（1）设，由，进行计算化简，得到关于的方程组，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由aob是直角，得到，得到关于的方程，求出的值.【详解】（1）设，由，得，解得；（2）由题意，的坐标分别为，是直角，即【点睛】本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题.20.观察以下等式：131213+23（1+2）213+23+33（1+2+3）213+23+33+43（1+2+3+4）2（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明（2）设数列an的前n项和为sn，且ann3+n，求s10【答案】（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；证明见解析（2）3080【解析】【分析】（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当时，证明成立，假设时，式子也成立，然后对时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案.【详解】（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；证明：当n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时，13+23+33+k3（1+2+3+k）2，当nk+1时，13+23+33+k3+（k+1）3（1+2+3+k）2+（k+1）3，可得nk+1时，猜想也成立，综上可得对任意的正整数n，13+23+33+n3（1+2+3+n）2；（2）数列an的前n项和为sn，且ann3+n，s10（13+23+103）+（1+2+3+10）（1+2+10）2552+553080【点睛】本题考查数学归纳法的证明，数列分组求和，属于中档题.21.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在0.1，0.3）的脐橙是“普通果”，重量在0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在0.5，0.7的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质，随机摘取100个脐橙进行检测，其重量分别在0.1，0.2），0.2，0.3），0.3，0.4），0.4，0.5），0.5，0.6），0.6，0.7中，经统计得到如图所示频率分布直方图（1）将频率视为概率，用样本估计总体现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，求恰有3个是“精品果”的概率（2）现从摘取的100个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为0.4，0.5），0.5，0.6）的脐橙中随机抽取10个，再从这10个抽取3个，记随机变量x表示重量在0.5，0.6）内的脐橙个数，求x的分布列及数学期望【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，先得到随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为0.5，并且随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数符合二项分布，再根据二项分布的概率公式，列出式子，得到答案.（2）先判断出可取的值为0，1，2，3，分别计算出其概率，然后列出概率分布列，再根据随机变量的数学期望公式，计算出其数学期望.【详解】（1）从从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数记为y，由图可知，随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为：0.2+0.30.5，yb（5，），随机摘取5个脐橙，恰有3个是“精品果”的概率为：p（y3）（2）依题意，抽取10个脐橙，重量为0.3，0.4），0.4，0.5）的个数分别为6和4，x的可能取值为0，1，2，3，p（x0），p（x1），p（x2），p（x3），x的分布列为：x0123pe（x）【点睛】本题考查满足二项分布的概率问题，以及随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题.22.近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图由统计图表可知，可用函数yabx拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次附：参考数据xi2xiyixivi43602.301401471071.40表中vilgyi，lgyi参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）y100.25x+1.3；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【解析】【分析】（1）先对yabx两边同取以10为底的对数，得到vxlgb+lga，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb和lga，从而得到，再写出y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.25x+1.310000，解出的范围，得到答案.【详解】（1）由yabx，两边同时取以10为底的对数，得lgylga+xlgb，即vxlgb+lga，由最小二乘法得：lgbvxlgb+lga过点（4，2.30），lga2.300.2541.3a101.3，b100.25y关于x的线性回归方程为y101.3100.25x100.25x+1.3；（2）由100.25x+1.310000，得0.25x+1.34，解得x10.8又xn*，预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.23.已知函数f（x）xlnxx2ax+1（1）设g（x）f（x），求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先得到解析式，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x22，只需证x22x11，只需证g（2x1）g（x2）0，设h（x）ln（2x）lnx+2x2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2x1）g（x2），从而证明x1+x22.【详解】（1）f（x）xlnxx2ax+1，g（x）f（x）lnxx+1a（x0），g（x）令g（x）0，则x1，当x1时，g（x）0；当0x1时，g（x）0，g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）f（x）有两个极值点x1，x2，x1，x2是g（x）的两零点，则g（x1）g（x2）0，不妨设0x11x2，由g（x1）0可得alnx1x1+1，g（x）在（1，+）上是减函数，要证x1+x22，只需证x22x11，只需证g（2x1）g（x2）0，g（2x1）ln（2x1）2+x1+1（lnx1x1+1）ln（2x1）lnx1+2x12，令h（x）ln（2x）lnx+2x2（0x1），则，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，g（2x1）0成立，即g（2x1）g（x2）x1+x22【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.24.在平面直角坐标系xoy中，直线c1的参数方程为（t为参数），以o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为2（1+sin2）2，点m的极坐标为（，）（1）求点m直角坐标和c2的直角坐