角平分线的性质定理及其逆定理

.,角平分线的性质定理及其逆定理,.,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,条件：一个点在一个角的平分线上,结论：这个点到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.,1,2,3,4,.,一.角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1=2PDOA，PEOBPD=PE.,.,例1:已知：如图，E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？,.,挑战自我,如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD4cm，AC的长,(2)求证:ABACCD.,.,定理的逆命题该怎么说？,在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在AOB的平分线上,逆定理：,.,逆定理:在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,用符号语言表示为:PDOA,PEOB,且PD=PE点P在AOB的平分线上(或OP是AOB的平分线）,温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,O,C,B,A,P,D,E,二.角平分线性质定理的逆定理,.,1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定定理:在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,3.性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点到角两边的距离相等,总结归纳,.,基本应用,填空：(1).1=2,DCAC,DEAB_(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_),12,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,.,1:已知：如图所示：PA，PC分别是ABC外角MAC与NCA平分线，它们交于P，PDBM于M，PFBN于F求证：点P在MBN的平分线上,E,.,2、已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC求证：AM平分DAB。,E,.,回味无穷,一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.二.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理,.,小测1：,.已知:如图,C=900,B=300,AD是RtABC的角平分线.求证:BD2CD.,.,（小测2）已知：MON中，MP平分OMN，OP平分MON，且PDMN，PEON，垂足分别为点D、E求证：点P在MNO的平分线上,.,三.尺规作图角平分线的作法,已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC作法:,用尺规作角的平分线.,.,1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于点E、D,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在AOB内交于点C,3.作射线OC.,则射线OC就是AOB的平分线.,.,例2:如图，设AB