浙江省台州市书生中学2019-2020学年高二数学4月线上教学检测试题

浙江省台州市书生中学2019-2020学年高二数学4月线上教学检测试题 （满分：120分 考试时间：150 分钟） 2020.4一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知f(x)=ex-lnx，则f(1)=()a. eb. e-1c. 0d. 1e-12. 若复数z=1-i1+i，则z2=()a. ib. -ic. 1d. -13. 将5个相同名额分给3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是()a. 60b. 50c. 10d. 64. 二项式(1x-3x)6的展开式中的常数项为()a. -540b. 135c. 270d. 5405. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a，若曲线y=f(x)与x轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为()a. (-,-1127)b. (1,+)c. (-527,1)d. (-1127,1)6. 利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+12n-1n(n2,nn*)”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有()a. 1项b. 2k-1项c. 2k项d. 2k+1项7. 从1，2，3，49这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有()a. 60b. 66c. 72d. 1268. 已知f(x)=lnxx，则下列结论中错误的是()a. f(x)在(0,e)上单调递增b. f(2)=f(4)c. 当0ab1时，ab202020199. f(x)=14x2+cosx，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()a. b. c. d. 10. 已知定义在r上的可导函数f(x)，对于任意实数x，都有f(-x)+f(x)=x2成立，且当x(0,+)时，都有f(x)x成立，若f(1-a)f(a)+12-a，则实数a的取值范围为()a. (-,12b. 12,+)c. (-,2d. 2,+)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 杨辉在详解九章算法中给出了三角垛垛积公式：1+3+6+n(n+1)2=16n(n+1)(n+2)(其中n为正整数).据此公式，则1+3+6+10+15+21+28=_；12+22+102=_12. 已知复数z=x+yi(x,yr)满足|z-1|=x，那么z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹方程为_；|z|min=_13. 已知函数f(x)=4lnx+ax2-6x(a为常数，若x=2为f(x)的一个极值点，则f(2)=_a=_14. 若将函数f(x)=x-110表示为f(x)=a0+a1x+a2x2+a10x10，其中air，i0,1，2，10，则a0+a1+a2+a10=_；|a0|+|a1|+|a2|+|a10|=_，15. 已知等差数列an中，若a9=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a17-n(nmx-3ex在x(0,+)上恒成立，则实数m的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6，极小值为2.求：(1)实数a，b的值；(2)求f(x)在-2,2上的单调区间19. 现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：(1)甲、乙不能相邻；(2)甲、乙相邻且都不站在两端；(3)甲、乙之间仅相隔1人；(4)按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列20. 设正数数列an的前n项和为sn，且sn=12(an+1an)， （1）试求出数列an的前三项；（2）试求an，并用数学归纳法证明你的结论21. 已知(x-124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及展开式中x的系数；(3)求展开式中系数最大的项22.已知函数f(x)=lnxx-12ax-b，g(x)=ax2+bx(1)当a=2，b=-3时，求函数f(x)在x=1处的切线方程，并求函数f(x)的最大值；(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为x1，x2，且x1x2，求证：g(x1+x22)1答案和解析1.【答案】b【解析】解：f(x)=ex-lnx，f(x)=ex-1x，f(1)=e-1故选：b利用导数的运算法则即可得出本题主要考查导数的基本运算法则，属基础题2.【答案】d【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解【解答】解：z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i，z2=(-i)2=-1故选d3.【答案】d【解析】解：将5个相同元素分成3组，用隔板法即可，即每班至少得到一个名额的不同分法种数是c42=6，故选：d由相同元素分组问题，采用隔板法即可得解本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题4. 【答案】b【解析】解：二项式(1x-3x)6的展开式的通项公式为tr+1=c6r(-3)rx3r-62，令3r-62=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为c629=135，故选：b在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题5.【答案】c【解析】【分析】本题主要考查利用导数求函数的极值以及转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题根据曲线y=f(x)与x轴有三个不同交点，可以转化为函数g(x)=x3-x2-x的图象与直线y=-a有三个不同交点，即可求出实数a的取值范围【解答】解：依题意知，曲线y=f(x)与x轴有三个不同交点，可以转化为函数g(x)=x3-x2-x的图象与直线y=-a有三个不同交点因为g(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)，当x0，当-13x1时g(x)1时，g(x)0，故g(x)极大值=g(-13)=527，g(x)极小值=g(1)=-1，因为-1-a527，解得-527a1故选c6.【答案】c【解析】解：用数学归纳法证明1+12+13+12n-1n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+12k+1-1，共(2k+1-1)-2k+1=2k项，故选：c依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1与n=k时不等式的左边比较即可得到答案本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题7.【答案】a【解析】解：从1，2，3，49这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则所取4个数中奇数的个数为奇数个，则不同取法种数有34c51c+14c53c=60，故选：a由排列组合及简单的计数问题得：其和为奇数，则不同取法种数有34c51c+14c53c=60，得解本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题8.【答案】d【解析】解：f(x)=1-lnxx2，x(0,+)a.可得函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，因此正确；b.f(2)=ln22，f(4)=ln44=ln22，f(2)=f(4)，因此正确；c.当0ab1时，lnaalnbb，可得：ab20202019，2020lg20192019lg2020，可得：lg20192019lg20202020，可得：log2019202020202019，因此d不正确故选：df(x)=1-lnxx2，x(0,+).可得函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，进而判断出结论本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.【答案】a【解析】解：f(x)=14x2+cosx，f(x)=12x-sinx，f(x)是奇函数，排除b，d，当x=4时，f(x)=8-22xx(0,+)时，g(x)=f(x)-x0，故函数g(x)在(0,+)上是增函数，函数g(x)在(-,0)上也是增函数，由f(0)=0，可得g(x)在r上是增函数f(1-a)-f(a)12-a等价于f(1-a)-12(1-a)2f(a)-12a2，即g(1-a)g(a)，1-aa，解得a12故选：a构造函数g(x)=f(x)-12x2，可判函数g(x)为奇函数且在r上是增函数，由函数的性质可得a的不等式，解不等式可得本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知条件构造出g(x)=f(x)-12x2是解决本题的关键，属中档题11.【答案】84 385【解析】解：由1+3+6+n(n+1)2=16n(n+1)(n+2)，所以1+3+6+10+15+21+28=16789=84，易得12+22+32+2=16n(n+1)(2n+1)，所以12+22+102=16101121=385，故答案为：84 385由归纳推理得：1+3+6+10+15+21+28=16789=84，易得12+22+32+2=16n(n+1)(2n+1)，所以12+22+102=16101121=385，得解本题考查了归纳推理，属中档题12.【答案】y2=2x-1 【解析】解：z=x+yi(x,yr)且|z-1|=x，|(x-1)+yi|=x，即(x-1)2+y2=x，整理得y2=2x-1图象如图，|z|min=12故答案为：y2=2x-1；把z=x+yi(x,yr)代入|z-1|=x，整理后可得z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹方程，画出图形，数形结合可得|z|min本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13. 【答案】0 1【解析】解：函数f(x)=4lnx+ax2-6x(a为常数，f(x)=4x+2ax-6x=2为f(x)的一个极值点，f(2)=2+4a-6=0，解得a=1故答案为：0，1函数f(x)=4lnx+ax2-6x(a为常数，f(x)=4x+2ax-6.根据x=2为f(x)的一个极值点，可得f(2)=0，解得a本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14. 【答案】0 1024(或210)【解析】解：将函数f(x)=x10表示为f(x)=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a10(x+1)10=x10，其中air，i0,1，2，10，令x=0，可得a0+a1+a2+a10=1+a1+a2+a10=0令x=-1，可得a0=1；令t=x+1，则x=t-1，多项式等价为(t-1)10=(1-t)10=a0+a1t+a2t2+a10t10，则展开式的通项公式tk+1=c10k(-t)k=(-1)kc10ktk，则当k为奇数时，ak0，则|a0|+|a1|+|a2|+|a10|=a0-a1+a2-+a10，令t=-1，则210=a0-a1+a2-+a10，即；|a0|+|a1|+|a2|+|a10|=210=1024，故答案为：0，1024根据多项式的展开式，利用赋值法和换元法分别进行求解即可本题主要考查二项展开式式的应用，利用赋值法以及结合展开式的通项公式的特点，判断项的系数的符号是解决本题的关键15.【答案】b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nn*)【解析】解：在等差数列an中，若a9=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a17-n成立(n17,nn*)，故相应的在等比数列bn中，若b8=1，则有等式b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nn*)成立故答案为：b1b2bn=b1b2b17-n(ng(ex)在(0,+)上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：令g(x)=mlnx-3x，问题等价于g(x+1)g(ex)在(0,+)上恒成立，因为x(0,+)时，1x+11，f(x)0恒成立，即mx+1-30，m3(x+1)，m318.【答案】解：(1)函数f(x)=x3-3ax+b(a0)，f(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a).可得：函数f(x)在(-,-a)，(a,+)上单调递增，在(-a,a)上单调递减x=-a时函数f(x)取得极大值6，x=a时函数f(x)取得极小值2f(-a)=-aa+3aa+b=6，f(a)=aa-3aa+b=2，联立解得：a=1，b=4(2)由(1)可得：f(x)=x3-3x+4f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)可得：函数f(x)在-2,-1)，(1,2上单调递增，在(-1,1)上单调递减【解析】(1)函数f(x)=x3-3ax+b(a0)，f(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a).进而得出单调性、极值点解得：a，b(2)由(1)可得：f(x)=x3-3x+4.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).即可得出单调区间本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)先排另外3人，再将甲、乙插空即可，即甲、乙不能相邻共a33a42=72种不同的排法；(2)将甲、乙捆绑，记为一个新的元素，则甲、乙相邻且都不站在两端共a22c21a33=24种不同的排法；(3)先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔1人共c31a22a33=36种不同的排法；(4)按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列共c42c22=6种不同的排法；故答案为：(1)72 (2)24 (3)36 (4)6【解析】(1)甲、乙不能相邻共a33a42=72种不同的排法；(2)甲、乙相邻且都不站在两端共a22c21a33=24种不同的排法；(3)甲、乙之间仅相隔1人共c31a22a33=36种不同的排法；(4)按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列共c42c22=6种不同的排法；得解本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题20.【答案】解：sn=12(an+1an)，当n=1，2，3时，可得a1=1，a2=2-1，a3=3-2，猜想an=n-n-1下面利用数学归纳法证明(1)当n=1时，a1=1=1-0成立；(2)假设当n=k(kn*)时，ak=k-k-1成立sn=12(an+1an)，sn+1=12(an+1+1an+1)，an+1=12(an+1+1an+1)-12(an+1an)，化为an+1an+an+1-1an+1=0则当n=k+1时，(k-k-1)+1k-k-1+ak+1-1ak+1=0，解得ak+1=k+1-k当n=k+1时，ak+1=k+1-k成立综上(1)(2)可得：nn*，an=n-n-1成立【解析】sn=12(an+1an)，分别令n=1，2，3时，可得a1=1，a2=2-1，a3=3-2，猜想an=n-n-1.利用递推式可得an+1an+an+1-1an+1=0.利用数学归纳法证明即可本题考查了数列递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】解：(1)二项式(x-124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，可得2cn112=cn0+cn214，求得n=1(舍去，或n=8；(2)(x-124x)n=(x-124x)8展开式的第三项的二项式系数为c82=28展开式的通项为tr+1=c8r(x)8-r(-124x)r=(-12)rc8rx16-3r4取16-3r4=1，得r=4展开式中x的系数为116c84=358；(3)由(2)可得，tr+1=c8r(x)8-r(-124x)r=(-12)rc8rx16-3r4，r为奇数时，系数为负，所以r为偶数，比较可得r=2故展开式中系数最大的项为7x52【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是中档题(1)等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n；(2)直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r，则展开式中x的系数可求；(3)根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项22.【答案】(1)解：当a=2，b=-3时，f(x)=lnxx-x+3(x0)f(x)=1-lnx-x2x2则f(e)=-1，切点为(e,1e-e+3)，故函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y-1e-3=0.(3分x+y-1e-3=0，令h(x)=1-lnx-x2，则h(x)=1-lnx-x2在(0,+)是减函数又h(1)=0x(0,1)，h(x)0，f(x)0，x(1,+)，h(x)0，f(x)0，f(x