第12章教材习题解答

E2 E E1 q2 A C q1 B 图12.3 第12章 静电场 12.3 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强 解：根据点电荷的场强大小的公式 ，其中1/(40) = k = 9.0109Nm2C-2 点电荷q1在C点产生的场强大小为 ，方向向下 点电荷q2在C点产生的场强大小为 ，方向向右 C处的总场强大小为 ， 总场强与分场强E2的夹角为 Ex x E R ds Ey O y 12.4 半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+和-，求圆心处的场强 解：在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为dq = ds， 在O点产生的场强大小为 ds Ex x E R Ey O y ，场强的分量为dEx = dEcos，dEy = dEsin 对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为 12.5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强； （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强 -L o lx x dl y P1 r L d1 解：（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m) 在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场强大小通过积分得 - 将数值代入公式得P1点的场强为 = 2.41103(NC-1)，方向沿着x轴正向 （2）建立坐标系，y = d2在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为 ， o lx x dl r -L L y P2 dEy dE2 dEx d2 由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy = dE2sin由图可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin2，因此， 总场强大小为 - 将数值代入公式得P2点的场强为 = 5.27103(NC-1)方向沿着y轴正向 讨论（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得 ， 保持d1不变，当a时，可得- 这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小 （2）由式得 ， 当a时，得 - 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1 R O 图12.6 12.6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问为何值时，圆心O点处的场强为零 解：设电荷线密度为，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强在圆弧上取一弧元ds =R d，所带的电量为dq = ds，在圆心处产生的场强的大小为 ， R O x d dE 由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为dEx = -dEcos总场强为 方向沿着x轴正向 O E E x R 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为 ，方向沿着x轴负向 当O点合场强为零时，必有，可得 tan/2 = 1， 因此/2 = /4，所以 = /2 P b a Q d 图12.7 12.7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如图所示试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强 （2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强 P b a O x dx y 解：（1）建立坐标系在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 d = d x，根据直线带电线的场强公式， 得带电直线在P点产生的场强为 ，其方向沿x轴正向 由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 - 场强方向沿x轴正向 Q b d O z dx x y r dE （2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为d = d x，带电直线在Q点产生的场强为， 沿z轴方向的分量为， 设x = dtan，则dx = dd/cos2，因此 积分得- , 场强方向沿z轴正向 讨论（1）薄板单位长度上电荷为 = b，式的场强可化为， 当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 - 这正是带电直线的场强公式 （2）也可以化为， 当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 ，这也是带电直线的场强公式 当b时，可得- 这是无限大带电平面所产生的场强公式 12.8 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？ （2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ 解：点电荷产生的电通量为e = q/0 （1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为1 = e/6 = q/60 （2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为1 = e/24 = q/240； 立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零 R O 图12.9 12.9 面电荷密度为的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示求通过此半球面的电通量解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面球面内包含的电荷为 q = R2， 通过球面的电通量为 e = q/0， 通过半球面的电通量为e = e/2 = R2/20 12.10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2处各点的场强 解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性 （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r R1） （2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = l，穿过高斯面的电通量为 根据高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2） 12.11 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强 解：方法一：高斯定理法 （1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E 在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 ， 高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为q =V = 2rS， 根据高斯定理e = q/0，可得场强为 E = r/0，(0rd/2)- （2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES， 高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd， 根据高斯定理e = q/0，可得场强为 E = d/20，(rd/2)- E2 dy r y o E1 d 方法二：场强叠加法 （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为d = dy， 产生的场强为 dE1 = d/20， 积分得- 同理，上面板产生的场强为- r处的总场强为E = E1-E2 = r/0 （2）在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20， E就是平板表面的场强 平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式 O R a R O 图12.13 12.13 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为RR的小球体，如图所示，试求两球心O与O处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场 解：挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加 对于一个半径为R，电荷体密度为的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 ， P点场强大小为 当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 ， P点场强大小为 O点在大球体中心、小球体之外大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为， 方向由O指向O O点在小球体中心、大球体之内小球体在O点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为，方向也由O指向O 证明在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为 O a r O r Er Er E P ，方向如图所示 设两场强之间的夹角为，合场强的平方为 ， 根据余弦定理得 ， 所以 ， 可见：空腔内任意点的电场是一个常量还可以证明：场强的方向沿着O到O的方向因此空腔内的电场为匀强电场 -q +q O B D C A 图12.14 12.14 如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功 解：正负电荷在O点的电势的和为零：UO = 0； 在C点产生的电势为， 电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R 12.15 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和BA平面的电荷面密度为2，B平面的电荷面密度为，两面间的距离为d当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？ 解：两平面产生的电场强度大小分别为EA = 2/20 = /0，EB = /20，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20，方向由A平面指向B平面 两平面间的电势差为U = Ed = d/20，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qd/20 12.16 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？ 解：带电球面在外部产生的场强为， 由于 ， 当UR = 0时， 12.17 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（rR）处的电势为 证明球的体积为，电荷的体密度为 利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为 ，（rR）；，（rR） 取无穷远处的电势为零，则r处的电势为 o -b E S2 S2 E y b E b b E S1 S0 S0 S1 12.18 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为，其他地方无电荷 （1）求此带电系统的电场分布，画E-y图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y图 解：平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E，但方向相反 （1）在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 高斯面内的体积为V = 2yS，包含的电量为 q = V = 2Sy， 根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = y/0， (-byb) 穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES，高斯面在板内的体积为V = S2b，包含的电量为 q = V = S2b， 根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = b/0， (by)； E = -b/0， (y-b ) E-y图如左图所示 （2）对于平面之间的点，电势为， 在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为，(-byb)这是一条开口向下的抛物线当yb时，电势为， 在y = b处U = -b2/20，所以C = b2/20，因此电势为，(by) 当y-b时，电势为， 在y = -b处U = -b2/20，所以C = d2/20，因此电势为， o y E -b b o y U -b b 两个公式综合得，(|y|d)这是两条直线 U-y图如右图所示U-y图的斜率就形成E-y图，在y = b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y = b点相切 A B P 图12.19 注意根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即,这是因为积分的起点位置是积分下限 12.19 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷=3.310-6Cm-2，求： （1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势； （2）A板的电势 解：两板之间的电场强度为 E=/0， 方向从A指向B以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m A B P r o （1） P点和B板间的电势差为 （2） ， 由于UB = 0，所以P点的电势为=1.493104(V) 同理可得A板的电势为=1.866104(V) o x dl y L r -L P1 l 图12.10 1220 电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为r处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强 解：电荷的线密度为 = q/2L （1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为 o lxx x dl -L L y r P2 , 总电势为 （2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为 ，积分得 （3）P1点的场强大小为 - ,方向沿着x轴正向 P2点的场强为 - 方向沿着y轴正向 讨论习题123的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 ，由于2L = q，取x = r，就得公式 （2）习题123的解答还计算了中垂线上的场强为 , 取d2 = r，可得公式 由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算 rA R1 A O B R2 rB 图12.21 12.21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为，试计算： （1）A，B两点的电势； （2）利用电势梯度求A，B两点的场强 解：（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势 O R1 R2 r dr 在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为dV = 4r2dr，包含的电量为dq = dV = 4r2dr，在球心处产生的电势为 ， 球心处的总电势为 O R1 R2 rB B ，这就是A点的电势UA 过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势球壳在球面内的体积为 ，包含的电量为 Q = V， 这些电荷集中在球心时在B点产生