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,数学与音乐,-北师大版必修4第一章三角函数阅读材料,梁祝优美动听的旋律，十里埋伏的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫当沉浸在这些美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联系？,事实上，数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交融形成了一个和谐统一的整体.古希腊时代的毕达哥拉斯就发现了数学与音乐的关系.他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是和音，如2：3（五度和音）或3：4（四度和音）.,音乐中的数学,01,每种声音都有三种品质：,音调,音量,音色,下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：,如果以时间为横轴、音高为纵坐标建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点：,实际上，音乐中的五线谱就相当于一个坐标系，写在五线谱中的音符相当于坐标系中的点，两个相邻点的横坐标的差就是前一个音符的音长，而一首乐曲就是一个音高关于时间的函数：.,在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，它表达了该乐曲的主题.从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示.,钢琴，被称为“乐器之王”.在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列中的其中几个数。,数学中的音乐,02,在余弦函数上取6个点，按照四分之四拍写在五线谱中，就得到一段乐曲.,可以利用几何画板软件将我们熟悉的函数弹奏出优美的旋律.,任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周期函数都可表示为其中频率最低的一项为基本音，其余的为泛音。,20世纪20年代哥伦比亚的数学和音乐教授约瑟夫希林格（JosephSchillinger），把纽约时报上的一条商务曲线描述在坐标纸上，然后把它分成比例合适的小节，选取适当的点进行处理并演奏出来，结果竟然是一首曲调优美、与巴赫作品相似的乐曲！约瑟夫希林格甚至认为：根据一套准则，所有的音乐杰作都可以转变为数学公式.他的学生乔治格什温（GeorgeGershwin）更是推陈出新，创建了一套用数学作曲的系统.据说著名歌剧波吉与贝斯（PorgyandBess)就是他使用这样的一套系统创作的.,音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然
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