简单计数问题.pptx

北海市第七中学高二数学组王美玉,选修2-3第一章1.4简单计数问题,1.能用分类加法计数或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.能利用排列组合知识解决排列问题、组合问题以及排列组合的综合应用问题.3.培养分类讨论思想和合理选用知识解决问题的能力.,分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对的是问题完成一件事要分为若干类,各类的方法相互,各类中的各种方法也相互,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事。而分步乘法计数原理针对的是问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互,单独完成任何其中的一步都完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事。,“分类”,独立,“分步”,依存,不能,独立,“分类”“分步”应注意什么？,不重不漏,步骤完整,分析问题时要分清楚先“分类”还是“分步”！,排列、组合,1.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？,关键是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题。,判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是有序，也就是排列问题；没影响就是无序，也就是组合问题。,2.排列数公式:,组合数公式:,某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果。现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用。问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？,1,分析：由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先甲后乙的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数。由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能不同，这是一个排列问题。,解：第一步：放入甲类物质，有种方案。,第二步：放入乙类物质，有种方案。,根据分步乘法原理，共有种方案。,在100个零件中有80个正品，20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？,分析：由于次品不加区别，这是一个组合问题。,2个零件中至少一个次品的情况有两种：只有一个次品或两个次品。,解：分类计数。第一类：只有一个次品，则另一个是正品。有种选法。,第二类：两个都是次品。有种选法。,根据加法原理，其中至少由一个次品的选法共有种选法。,有没有别的解题方法？,2,直接法,间接法,无限制条件时，从100件中选2件共有种选法。没有次品时，有种选法。,分析：“至少有一个次品”的反面是“没有次品”。故用无限制条件的所有组合数减去没有次品的组合数，即得“至少有一个次品”的组合数。,则“至少有一个次品”的选法有种。,排列计数的应用,例1.有3名男生，4名女生照相，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：,（1）选其中5人排成一排；（用排列数作答）,（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（用排列数作答）,（3）全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾；（用排列数作答）,（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（用排列数作答）,（5）全体排成一排，男生互不相邻；（用排列数作答）,（6）全体排成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变;（不一定相邻）；（用数字作答）,（7）全体排成一排，甲不在排头，乙不在排尾。（用数字作答）,无限制条件,特殊优先考虑,捆绑法,插空法,定序问题,特殊优先考虑，分类讨论,（6）,分步，先给甲在中间5个位置中选一个，其他人任意排,分步，先把4个女生“捆绑”在一起，和其他3名男生排列，有种排法,再把女生的“小集团”内部排列，有种排法。,要想男生互不相邻，先排女生，然后将3个男生插入到女生站位的空里排列即可。,用无限制条件的排列数，除以特殊元素的全排列数。,分析：甲不在排头，说明甲可以在排尾或者中间。分类讨论。,第一类：甲在排尾，则其他人任意排列。有种排法。,第二类：甲不在排尾，先给甲在中间选一个位置，再给乙在除了排尾的位置选一个位置，其他人任意排列。,有种排法。,则共有720+3000=3720种排法。,变式训练一（组数问题）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个,分析：分类。一类万位上的数字为4，一类万位上的数字为5.,解：第一类，当万位上的数字为4时，先给个位选数字，有0、2两种选择，十位、百位、千位在剩下的4个数里选3个排列。有个数。第二类，当万位上的数字为5时，先给个位选数字，有0、2、4三种选择，十位、百位、千位在剩下的4个数里选3个排列。有个数。由分类加法计数原理，则比40000大的偶数共有48+72=120个。,B,7,组合计数的应用,例2.某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个。从其中任取10个进行检验。那么（用组合数表示）,（1）一共有多少种抽取结果？,（2）全部抽到一等品的结果有多少种？,（3）抽不到一等品的结果有多少种？,（4）恰抽到5个一等品的结果有多少种？,（5）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？,（6）至少抽到1个一等品的结果有多少种？,解“至少”或“至多”含有几个元素的问题时，当用直接法分类较多时，可用间接法处理。,先从一等品里抽取5个，再从二、三等里面抽取5个。,变式训练二：我校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门。学校规定，每名同学选修4门，共有种不同选修方案。（用数字作答）,75,分析：分类。一类为选择了A、B、C其中一门，一类为不选A、B、C。,解：第一类，若选择了A、B、C其中一门，有3种选法，再从剩下的6门课程中选3门，有种选法。则此类有种选法。第二类，若没有选择A、B、C，则有种选法。由分类加法计数原理，共有60+15=75种不同的选修方案。,排列组合的综合应用,例3.现有4个不同的小球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。,（1）共有几种放法？,（2）恰有1个空盒，有几种放法？,（3）恰有2个空盒，有几种放法？,每个球有4种选择，共有种放法。,解：（2）若恰有1个空盒，可先选出一个空盒。剩下的盒子可分类讨论，其中有一个盒子放两个球。,第一个盒子有2个球，有种选法，第二个盒子有一个球，有种选法，第三个盒子有种选法。,第一个盒子有1个球，有种选法，第二个盒子有两个球，有种选法，第三个盒子有种选法。,第一个盒子有1个球，有种选法，第二个盒子有一个球，有种选法，第三个盒子有两个球，有种选法。,则共有种选法。,（3）若恰有2空盒，可先选出两个空盒。剩下的盒子可分类讨论。,84种放法,变式训练三：一个班有6名战士,其中正副班长各1人，现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_种,192,解排列组合的综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列。,（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有一名女生，共有种不同的选法。（用数字作答）,（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）,链接高考,1560,55,（2014辽宁）6把椅子摆成一排，3人机就坐，任何两个人不相邻的坐法种数为（）A.144B.120C.72D.24,链接高考,D,题4,课堂小结,1.解排列组合的问题时，首先要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合