矩阵特征值问题

第六章,矩阵特征值问题,.,一、方阵特征值与特征向量的概念,定义设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式,成立，,那么这样的数称为方阵的特征值；,非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.,注意：,关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.,零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.,特征向量是非零向量.,.,方阵的与特征值对应的特征向量不唯一.,若和都是属于特征值的特征向量,则,也是属于特征值的特征向量.,一个特征向量只能属于一个特征值.,.,二、特征值与特征向量的求法,1.结论的引入,若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有,方程有非零解，且是它的一个非零解,是代数方程的根.,.,以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.,以为变元的次多项式，即,称为方阵的特征多项式.,.,2.结论,矩阵的特征方程的根就是的特征值.由行列式的定义,(3)设是方阵的一个特征值，则齐次方程,的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；,齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的极大无关组.,(2)在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).,.,练习：,.,求特征值、特征向量步骤：,求出即为特征值;,把得到的每一个特征值代入上式，,即为所求特征向量。,or,或,.,例求矩阵的特征值和特征向量.,解：,的特征多项式,所以的特征值为,.,当时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于的全部特征向量为,.,当时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于的全部特征向量为,.,解：,的特征多项式,所以的特征值为,.,当时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于的全部特征向量为,.,得基础解系,当时，解齐次方程，,所以对应于的全部特征向量为,.,解：,的特征多项式,所以的特征值为,.,当时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于的全部特征向量为,.,得基础解系,当时，解齐次方程，,所以对应于的全部特征向量为,(不同时为0).,.,说明：,例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.,.,可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.,练习:,.,虽然与有相同的特征值,特征向量却不一定相同.,3.特征值和特征向量的性质,例如:,可计算与有相同的特征值,但易验证是对应于特征值2的特征向量,但却不是的.,.,性质1证,根据特征值满足的条件：是特征方程的根，所以要证与的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.,.,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,推论:矩阵可逆,的特征值都不为0.,.,定理1证,因为是的个特征向量，则有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,.,这些项中不含,比较两端的的系数，可得,即,.,显然有,说明,根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.,.,练习:,.,若可逆，则的特征值是,的特征值是,且仍然是矩阵,分别对应于的特征向量。,为x的多项式，则的特征值为,实际上这里多项式幂可推广为所有整数,.,例设3阶矩阵的特征值为求,解,方阵的行列式=的全部特征值之积.,因为的特征值为，全不为0，,所以可逆，且,则有,故的特征值为,.,因此,.,练习:求抽象矩阵的特征值,.,.,练习:特征值,特征向量的逆问题,.,则,定理3：设是方阵的个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果各不相等，,则线性无关。,即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。,.,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。,.,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为为特征向量，,所以,线性无关。,.,进一步可以证明,定理4:若,为矩阵A对应特征值,的线性无关的特征向量,则当,互不相同时,向量组,是线性无关的.,.,性质:设,是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应,的线性无关的特征向量有1个.,.,例设和是矩阵的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为和，,证,根据题设，有,要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.,用反证法，假设是的特征向量，,则存在数，使,证明不是的特征向量.,.,因为，所以线性无关，故,即有,与题设矛盾.,因此不是的特征向量.,.,练习:,.,(2)证,因为是的特征值，,所以存在非零向量使,用左乘上式两端得,这表明是矩阵的特征值.,类似地，可以证是矩阵的特征值.,.,因为是的特征值，,(3)证,所以存在非零向量使,又由知，,可逆，且，所以,这表明是矩阵的特征值.,.,(3)证,因为是的特征值，,所以存在非零向量使,又因为，所以,这表明是矩阵的特征值.,.,例设,解：（1）,求：（1）的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。,.,得,.,自由未知量:,得基础解系,.,取,.,存在,本题启示:,问题：矩阵是否唯一？矩阵是否唯一？,2.提供了一种求的方法.,由定理知，,若存在可逆矩阵，使,(为对角阵),则有,.,已知矩阵,求.,我们可以找到一个可逆矩阵，,相似矩阵,使,.,二.相似(similar)矩阵的定义及性质,定义:,设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,则称矩阵是矩阵的相似矩阵，,对进行运算称为对进行相似变换，,可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。,或称矩阵与矩阵相似，记作,注：矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若则,（3）传递性：若则,.,推论：若矩阵与对角阵相似，,则是的个特征值。,.,（3）有相同特征多项式的矩