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文档简介

.,（柯西基本定理）若f(z)在单连通域D内解析，则,其中C为D内的封闭曲线。,（复合闭路定理）若f(z)在多连通域D内解析，在边界上连续则,复习,.,一、柯西积分公式,定理.(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则,.,证,由于f(z)在z0连续,任给,存在,当|z-z0|时,|f(z)-f(z0)|.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R.,.,例1,解,.,例题2,解：,.,二、解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.,.,定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:,其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.,证设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即,因此就是要证,.,按柯西积分公式有,因此,.,现要证当Dz0时I0,而,f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.,解1)函数在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.,.,例2若n为自然数，试证明：,证：,
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