水力学吴持恭第四版课件2 水静力学.ppt

第二章水静力学,2-1静水压强及其特性2-2液体的平衡微分方程2-3重力作用下静水压强的分布规律2-4测量压强的仪器2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡2-6作用在平面壁上的静水总压力2-7作用在曲面壁上的静水总压力,第二章水静力学,一、压强的定义：,单位面积上所受的压力,公式,二、静水压强的特性,第一特性：静水压强垂直于作用面，并指向作用面。,平均压强,点压强,单位：N/m2（Pa）,2-1静水压强及其特性,证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体,静水压强的方向与作用面的内法线方向重合，静水压强是一种,压应力,第二章水静力学,第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的方位无关。,第二章水静力学,如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可,7,z,x,y,从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡,8,四面体的体积DV为,总质量力在三个坐标方向的投影为,第二章水静力学,10,考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则,式中，:斜面法线与三个坐标方向的夹角,第一式中,代入第一式,则：,整理后,有,当四面体无限缩小到A点时，,0,因此：,同理，我们可以推出：,第二章水静力学,这样我们可以得到：,上式表明任一点的静水压强p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明,第二章水静力学,第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的方位无关。,第二章水静力学,相应面上的总压力为,第二章水静力学,四面体的体积DV为,总质量力在三个坐标方向的投影为,第二章水静力学,按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零,第一式中,第二章水静力学,代入第一式,则：,整理后,有,当四面体无限缩小到A点时，,0,因此：,同理，我们可以推出：,第二章水静力学,这样我们可以得到：,上式表明任一点的静水压强p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明,第二章水静力学,2-2液体的平衡微分方程及其积分,第二章水静力学,液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系,第二章水静力学,在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便）,2-2液体的平衡微分方程及其积分,第二章水静力学,A点的压强为一函数p（x,y,z),泰勒级数展开式为：,运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上微量,M点的压强？,坐标,第二章水静力学,N点压强为：,则：M点压强为：,六面体左右两面的表面力为：,第二章水静力学,另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为：,根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零，即：,整理得：,同理，在x,y方向上可得：,第二章水静力学,上式为液体平衡微分方程。,又称欧拉平衡微分方程,第二章水静力学,依次乘以dx,dy,dz后相加得：,改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程,就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位质量力决定的。,第二章水静力学,也是函数U（x,y,z)的全微分即：,则函数U（x,y,z)的全微分为：,由此得：,满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。,由此可见：液体只在有势的质量力作用下才能平衡,第二章水静力学,等压面：液体中各点压强相等的面。,在等压面上p=常数，即dp=dU=0，而0故dU=0即U=常数，等压面即等势面。,等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之,在等压面上,式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移ds在相应坐标轴上的投影。,质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零，所以等压面与质量力必然正交。,第二章水静力学,2-3重力作用下静水压强的分布规律,一、水静力学基本方程,重力在坐标轴上的投影分别为：,X=0、Y=0、Z=-g,代入液体平衡方程,得,积分得：,或,第二章水静力学,即为重力作用下的水静力学基本方程式,上式表明：,在静止液体中，任何一点的（）总是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：,在液体自由表面上，,代入得：,因此：公式,可写成：,第二章水静力学,对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深度代替,因此将代入上式得：,静水全压强,上式即为水静力学基本方程式的另一种形式,它说明：,1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化,2、静止液体中任一点的压强等于表面压强与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。,应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强,第二章水静力学,二、压强的表示方法和单位,1、压强的表示方法：,绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基准）算起的。用Pabs表示。,相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强。用P表示。,也称为静水全压强,也叫计算压强,或称表压，用公式表示：,如果自由表面压强与当地大气压强相等,则,也称静水超压强或重量压强,第二章水静力学,绝对压强永远为正值，最小值为零。,相对压强可正可负，当PabsPa时，相对压强P0的例子,对于PPa,则：在水力学中，hA高度即为测压管高度。,这种测量压强的管子叫测压管。,在容器内有,在右管中有,因此,所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）,第二章水静力学,若P0Pa,则：位于测压管中的水位高度将低于容器内液面高度。,即hAh,那么，真空高度为：,第二章水静力学,在水力学上，把任一点的相对压强高度（即测压管高度）与该点基准面以上的位置之和称为测压管水头。,上图中A点的测压管水头为：,水力学基本方程式可写成：,可见，在静止液体中，各点的测压管水头不变。,第二章水静力学,五、压强的表示方法和单位,pa,h,A,1测压管,2U形水银测压计,4倒U形压差计,6.压力传感器,2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡,相对平衡：,液体相对于地球总是运动的，但各质点之间及液体与器皿之间都没有相对运动。,质量力：,重力和惯性力。,惯性力的计算方法：,先求出某质点相对于地球的加速度，将其反号并乘以该质点的质量。（达兰贝尔原理）,第二章水静力学,第一种情况：,流体在以等角速度绕铅直轴旋转，与器皿相对平衡，分析距OZ轴半径为r处任意质点A所受质量力。,设质点A的质量为M,各坐标轴上的分量：,离心惯性力：,单位质量的离心惯性力：,第二章水静力学,在各坐标轴的分量：,由叠加原理：,代入欧拉平衡微分方程,第二章水静力学,代入原式，有：,注意：,在旋转液体中，各点的测压管水头都不是常数。,第二种情况：液体在作直线等加速运动的器皿中的相对平衡。,第二章水静力学,单位质量力：,重力：,惯性力：,由叠加原理：,代入方程：,代入上式，则,式中：,为所求的那一点在自由液面下的铅直深度h，,则：,第二章水静力学,第三种情况：,液体作直线等速运动之器皿中的相对平衡。,显然，液体的等压面和自由液面都是水平面，仅有重力而无惯性力。,代入得：,代入上式，则,第二章水静力学,例1：,有一小车，内盛液体，车内尺寸长L=3.0m，宽b=1.2m，静止时水深h=2.0m，小车作水平等加速运动，ax=4.0m。试计算小车运动时水面倾斜角和底面AB受力大小？,解：,根据平衡微分方程,代入：,第二章水静力学,所以,计算液体任一点的压强：,按相对压强计算，在自由液面上,点A的坐标,第二章水静力学,B点坐标,平均压强,作用在AB底面上的力：,简便方法：,直接计算AB板中心点压强,代入,第二章水静力学,例2：,边长为b的敞口立方水箱中原来装满水，当容器,以匀加速度向右运动时，试求：,水溢出1/3时的加速度；,水剩下1/3时的加速度；,解：,水溢出1/3时,水剩下1/3时（自算）,第二章水静力学,2-6作用在平面上的静水总压力,概述：,对于一个平面作用面，静水总压力的作用方向必然垂直地压向这个作用面。需要解决的问题是它的大小和作用点。,方法分有解析法和图解法。,一、解析法：是根据力学和数学的分析方法，来求平面上静水总压力的一般计算公式。,1、总压力的大小和方向,第二章水静力学,dA上的压力为,Pc为受压面形心的相对压强,形心点上的压强亦即是整个平面上的平均压强,静水总压力的方向是沿着受压面的内法线方向,2-6作用在平面上的静水总压力,2、总压力的作用点,静水总压力在平面上的作用点叫做压力中心。,压力中心的位置必然低于形心的位置，只有当平面呈水平时，总压力的作用点才与面积的形心相重合。,设：,压力中心为D,它在水面下的深度为hD,利用力学定理（合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和）,得：,对OX轴,即：,2-6作用在平面上的静水总压力,同时，根据惯性矩的平行移轴定理。,有：,于是：,永远大于零,这说明压力中心D总是在平面形心之下,D点与C点在y方向上的距离为：,在实际工程中，受压面多是左右对称的，即总压力的作用点必位于对称轴上，因而，只需求出压力中心在Y方向的位置就可以了。,2-6作用在平面上的静水总压力,几种常见平面的Jc及形心点位置的计算式,(式中),2-6作用在平面上的静水总压力,二、图解法,采用图解法时，须先绘出压强分布图，然后根据压强分布图形计算总压力。,a、压强分布图,b、剖面图,总压力为：,所以；平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布图的体积。,=,1、求大小,2-6作用在平面上的静水总压力,2-6作用在平面上的静水总压力,总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。,2、求作用点,对于矩形平板，静水总压力的作用点可由三角形压强分布图形面积的形心定出。,例题,水库泄水闸门AB，矩形b=2m，L=2m。设水位在B点泄洪，闸门自重4KN.摩擦系数=0.5。1）求提升力T。2）设准备提升力为2T，如果水位在B点上2m，能提起来吗。,2-6作用在平面上的静水总压力,2m,b=2m,L=2m,B,A,例题,斜闸门AB，如图。L=3m，b=2m，自重G=6kN。B点为铰。水位在B点上1m，求提升力T。,2-6作用在平面上的静水总压力,h=1m,30o,B,T,G,P,T,N,R,P,+,已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。,解：,、求总压力,2-6作用在平面上的静水总压力,设总压力的作用点沿斜面距水面为yD,则：,（米）,2-6作用在平面上的静水总压力,已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。,解：,、求总压力,2-6作用在平面上的静水总压力,设总压力的作用点沿斜面距水面为yD,则：,（米）,2-6作用在平面上的静水总压力,问题：,作用在自由面上的压强p0所形成的压力P0的压力中心在何处？,答：,力P0的压力中心和平面的形心点C重合，这是因为压强p0在平面上均匀分布的缘故。,2-6作用在平面上的静水总压力,例题：,输水水管道在试压时，压强表的读数为10atm，管道直径d=1.0m，求作用在管端法兰堵头上的静水总压力及作用点。,设法兰堵头上静水压强均匀分布,所以堵头上的总压力,作用点通过堵头的中心C点,2-6作用在平面上的静水总压力,总压力：,作用点：,2-6作用在平面上的静水总压力,比较两种计算方法的结果：,、总压力的相对误差：,、作用点距离误差：,比较结果：,在工程上，方法1计算完全可满足要求。,2-6作用在平面上的静水总压力,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,一、静水压强的水平分力和垂直分力,将曲面看作无数微小面积所组成，而作用在每一微小面积上的压力可分解成水平分力和垂直分力，这样就把求曲面总压力的问题也变成求Px和Pz的合力的问题。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,而：,则：,其中：h(dA)z为平面(dA)z对水平轴oy的静矩。,所以：,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,同理：,Pz就等于压力体的水重。,当液体与压力体位于曲面的同侧时，pz向下，称为实压力体。,当液体与压力体位于曲面的两侧时，pz向上，称为虚压力体。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,二、总压力的作用点,Px的作用线通过压力中心，Pz的作用线通过压力体的重心。,合力P的作用线与曲面的交点即为作用点。,注意：,Px与Pz的交点不一定落在曲面上。,压力体由以下部分围成：,曲面本身,自曲面边缘向自由液面或其延长面作垂直面。,自由液面或其延长面。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,例：,如图为一园柱形闸门。半径R=2水深H=R=2m.求作用在闸门AB上的静水总压力和方向。（闸门长度按单宽计）,解：总压力必然通过园心。,=9800222=19600N,Pz=V=（1/4）R21,=9800(1/4)221=30800N,tg=Pz/Px=30800/19600=1.57=57.5,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,第一、二章习题课,解：,对直立煤气管道中的煤气而言，不同高程的大气压强不能看成常数，,则点1的大气压强,值为,.,.,由测压管测得：,.,由直立煤气管中与关系可求得：,.,将式代入式，,移项后得：,=,=5.30,2、,一直径D=600mm，高度H=500mm的圆柱形容器，其中盛水深度H2=0.4m，上部盛油（比重为0.8）深度H1=0.1m，容器顶盖中心有一小孔与大气相通。求液体分界面与容器底相切时，容器的旋转速度及盖板上和容器底上的最小和最大压强值。,解：,取坐标如图所示，,由于容器有顶盖，故旋转时液面不能自由升高。,根据液面分界面与容器底相切的条件，旋转时液面形成的抛物线旋转体的顶部与容器底的o点相切。,，设其底的直径为d。,求容器旋转速度,（a)旋转前后的油液的体积保持不变，可求出d,转前：,转后：,由,=,=,得：,已知旋转后油液形成的抛物线旋转体高：,代入上式移项后得：,=272.22,=16.499rad/s,求盖板和