弹性力学第十章 空间问题的解答（课堂PPT）

第十章空间问题的解答,目录10.1基本方程的柱坐标和球坐标形式10.2位移场的势函数分解10.3拉梅应变势10.4齐次拉梅方程的通解10.5无限体内一点受集中力作用10.6半无限体表面受法向集中力作用,在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。,根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标表示。若取对称轴为z轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是和z的函数，而与坐标无关。,-1空间问题的基本方程轴对称问题,轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。,例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体或半无限体受集中力等,柱坐标：,描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标,柱坐标系,P,与直角坐标的关系：,z,用相距的两个圆柱面，互成的两个铅垂面及相距的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体,从轴对称物体中取出图示的单元体,一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示,由于对称性，,并且环向体力分量为零,应变分量：,径向正应变,环向正应变,轴向正应变,剪应变：,位移分量：,径向位移,环向位移,轴向位移,基本未知量：,共10个,二、轴对称问题的平衡微分方程:,取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，如图示。,根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意：此时环向正应力的增量为零。,0,y,z,x,0,x,y,z,根据方向的平衡,利用,可得:,经约简并略去高阶微量，得：,根据z方向的平衡，可得:,化简后得到:,空间轴对称问题的平衡方程为:,三、几何方程,通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为：,由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为,由轴向位移w产生的应变为,迭加得到几何方程,四物理方程,由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：,应力分量用形变分量表示的物理方程：,其中：,例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。,解:,位移法求解空间问题的方程为：,1、由于任意铅直平面都是对称面，假设,z,R,z,x,y,2、将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为,化简后，积分以后得：,上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。,即,3、将(5)代入弹性方程(6)得：,在本问题的边界上:,应力边界条件为:,前二式自然满足，而第三式要求:,4、由应力边界条件确定A,得:,5、决定常数B，利用给定的位移条件:,得铅直位移:,6、分析：,1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下的应力和位移分析。由：,可得侧压力系数：,2）本题也可按轴对称问题计算：,取,求得：,在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。,根据球对称的特点，应采用球坐标表示。若以弹性体的对称点为坐标原点，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标r的函数，而与其余两个坐标无关。,显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。,球对称问题,例：空心圆球受均布压力,设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。,其解为,得应力分量,解：由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为,26,于是得问题的径向位移,应力表达式,10.2位移场的势函数分解式,亥姆霍兹(Helmholtz)定理：一个任意的位移场U总可以分解为两部分，一部分代表没有转动的（即无旋的）位移场U1，另一部分代表没有体积变化的（即等容的）位移场U2。,(a),由于U1为无旋的位移场，故其旋度为零。,那么存在一个标量势函数，它的梯度等于U1,对于U2，由于它表示等容变形，则体积应变为零，也表示其散度为零。,(b),不失一般性，可令,(c),(c)式成立的条件是,(d),(10-14),(b),(d)代入(a)得,(10-15),式(10-15)称为位移场的势函数分解式，或称Stokes分解式。,对式(10-15)作散度和旋度运算，可得,(10-16),10.3拉梅应变势,式(10-15)给出了位移场既非无旋也非等容的一般情况下的分解式，若位移场是无旋的，则式(10-15)可简化为,(10-17),将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程,(10-18),代入式（10-18）得,注意到：,由此可得：,(10-19),由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均匀的，或者没有膨胀和收缩。能直接利用拉梅应变势