时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型.ppt

第三章,滑动平均模型与自回归滑动平均模型,本章结构,滑动平均模型ARMA模型,3.1滑动平均模型,模型引入MA(q)和MA(q)序列最小序列MA(q)系数的递推计算MA(q)模型举例,q步相关,平稳序列的自协方差函数若满足，则称是q步相关的。,滑动平均模型的例子,每隔两小时记录的化学反应数据时间序列。一阶差分得的样本自相关系数列呈现截尾性。,可以拟合(1.1)模型特点是1步截尾,MA(q)模型和MA(q)序列,定义1.1设是，如果实数使得则称(1.2)是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；,称由(1.2)决定的平均序列是滑动平均模型，简称为MA(q)序列。如果进一步要求多项式在单位圆周上也没有零点：当，则称(1.2)是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间序列是可逆的MA(q)序列。,MA的特征,用推移算子把模型写为(1.3)对于可逆MA，有Taylor展式所以(1.4),MA序列的自协方差函数,记，则对MA(q)序列有，(1.5),MA序列的谱密度,定理1.1MA(q)序列的自协方差函数是q步截尾的：(1.6)并且有谱密度(1.7),MA(q)序列的充要条件,定理1.3设零均值平稳序列有自协方差函数，则是MA(q)序列的充分必要是,引理1.2,引理1.2设实常数使得和则有唯一的实系数多项式：(1.8)使得这里为某个正常数。(注：),定理1.3的证明,由自协方差绝对可和时谱密度公式得由引理，单位圆内没有根,如果在单位圆上都没有根，则可定义，用线性滤波的谱密度公式可得的谱密度是白噪声谱密度。单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明。,MA(q)系数的计算,MA(q)序列的系数及可以被数唯一确定。可以用文献方法计算模型参数。,MA(q)系数的计算,记(1.11),则有：(1.12)其中.(1.13),MA(1)序列,可逆MA(1)自协方差和自相关,谱密度偏相关系数不截尾：逆表示,MA(2)序列,可逆MA(2)可逆域：,自协方差自相关系数谱密度,MA(2)序列的实际例子,MA(2)的实际例子：特征根为。,3.2自回归滑动平均模型,ARMA(p,q)模型及其平稳解ARMA(p,q)序列的自协方差函数ARMA(p,q)模型的可识别性ARMA序列的谱密度和可逆性例子,ARMA模型,定义2.1设是。实系数多项式和没有公共根。满足以及：(2.1),就称差分方程：(2.2)是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序列为平稳解或ARMA(p,q)序列。,ARMA模型平稳解,模型写成(2.3)在解析(为的所有根)，可以Taylor展开(2.4)易见是线性平稳列。,两边用作用即是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。,惟一平稳解,反之，若是(2.2)的一个平稳解，在(2.2)两边用既得即(2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。,称(2.6)中的为的Word系数。定理2.1由(2.6)定义的平稳序列是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。,ARMA模型方程的通解,模型(2.2)的任意解可写成(2.7)其中为平稳解(2.6).为的全体互不相同的零点。有重数随机变量由唯一决定。,ARMA序列的模拟生成,(2.8)可以据此模拟ARMA模型：取初值递推的当m较大时取后一段作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。当有靠近单位圆的根时m要取得较大,ARMA序列的自协方差函数,可由wold系数表示：(2.10)由于由(2.10)可得,ARMA模型Wold系数的递推公式,记或由参数计算时可以递推(2.11),Wold递推公式的证明,记。注意,比较系数得即(2.11)成立。,可识别性,我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方差函数可以决定ARMA(p,q)模型的参数,引理2.2设是(2.2)的平稳解。如果又有白噪声和实系数多项式使得成立。则的阶数的阶数。,ARMA序列的Y-W方程,ARMA模型的平稳解为所以,（1）,两边同乘以求期望得即,当时上式为,总之(2.14)对的Y-W方程可以写成矩阵形式：(2.15),把系数矩阵记为：只要可逆则可解出。,（2）,解出后令则是一个MA(q)序列。其自协方差函数为q步截尾，且,可以用3.1的方法唯一解出。于是，只要可逆，则ARMA(p,q)序列的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数相互惟一决定。,ARMA模型中AR部分的参数求解,定理2.3设为ARMA(p,q)序列的自协方差函数列，则时可逆。证明：用反证法然后由引理2.2导出矛盾。,设不满秩。则存在使得即(2.18),注意当时，。所以这是。所以取有,递推得上式当时也成立。因此,令，则是零均值平稳列，利用可知的自协方差步截尾。是MA(q-1)序列，存在使得与引理2.2矛盾。,ARMA模型的一个充分条件,定理2.4设零均值平稳序列有自协方差函数。又设实数使得满足最小相位条件，另外(2.9)则是一个ARMA序列。其中,定理2.4证明,证明：设，则是零均值平稳序列。满足,所以有说明的自协方差函数是q后截尾的。,由定理1.3知道，为一个MA(q)序列。即存在单位圆内没有根的q阶实系数多项式使得和(2.20)其中是,如果和没有公因子，上述模型就是所需要的ARMA(p,q)模型。否则设公因子是，则有这是(2.20)变成两边乘以(显然也满足最小相位条件)后得到所需要ARMA模型：,为,有理谱密度,由于ARMA序列的绝对可和，以及平稳解的线性序列表达式，可得ARMA(p,q)序列(2.6)有谱密度(2.21)形如(2.21)的谱密度被称为有理谱密度。,可逆的ARMA模型,定义2.2在ARMA(p,q)模型的定义2.1中，如果进一步要求在单位圆上无限：(2.22)则称ARMA(p,q)模型(2.2)为可逆的ARMA模型，称相应的平稳解为可逆的ARMA(p,q)序列。,对于可逆的ARMA(p,q)模型(2