方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式.ppt

第十章多元函数的导数及其应用,10.1多元函数的极限与连续,10.2偏导数与全微分,10.3多元复合函数与隐函数的偏导数,10.4方向导数、梯度及泰勒公式,10.5多元函数的极值与条件极值,10.4方向导数与梯度及泰勒公式,10.4.1方向导数与梯度,内容小结与作业,10.4.2方向导数与梯度的性质及应用,10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式,10.4.1方向导数与梯度,1.方向导数的概念,偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.,对于二元函数有,在几何上，它们分别表示平面曲线及,在点处的切线的斜率.,(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.,下面我们来考虑二元函数在点,定义若函数,在点,处,沿方向u(方向角为,存在下列极限:,记作,方向导数的几何意义,表示曲线C在点处的切线的斜率.,特别:,当u与x轴同向,当u与x轴反向,那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，,且有,其中为向量u的方向余弦.,2.方向导数的计算,这就证明了方向导数存在，且,一般地，当函数可微时，有,且所以,当自变量从点沿u方向移动时，,三元函数在点沿方向u(方向角为)的方向导数定义为,定理10.4.1的逆命题不成立.,f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.,方向导数的性质,例1.,求函数在点沿方向,的方向导数.,解：,又的方向余弦为,故,例2.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,故,3.梯度向量的定义,因为,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,记作gradf或f,即,nabla,例3.,求函数在点处的梯度以及,函数在该点处沿方向的方向导数.,解：,故,又,故,如果采用向量的记号，我们容易给出一般n元函数的,方向导数与梯度的定义.,设f(x)是n元函数(通常我们只考虑二元函数和三元,u是n元向量,u0是u对应的单位向量,函数的情况)，,则f(x)在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为,10.4.2方向导数与梯度的性质及应用,1.函数的最速上升方向与最速下降方向,定义10.4.1设f(x)是,上的连续函数，,d是n维非零向量，如果存在,，使得对于一切,，恒有,则称d为函数f在x0处的上升方向;,恒有,如果对于,则称d为函数f在x0处的下降方向.,定理10.4.2设f(x)在点x0处可微,u是一个n维非,零向量，如果,个上升方向；,的一个下降方向,则u是f(x)在点x0处的一,如果,则u是f(x)在点x0处,定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.,结论1,梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向),沿梯度方向,方向导数达到最大值,问题：函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？,若函数在点处取最大值，则函数沿任何,方向都不可能上升，于是由定理10.4.2知,特别地,另一方面,因此,即函数在最大值点处的梯度为零向量；,同理可,得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.,结论2,函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量,设在处取最大（小）值，则,即,类似地，若三元函数在处取最,大（小）值，则,例4.,设一座山的高度由函数给出,如,果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方,向攀登时坡度最陡？,解：,坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即,求使高度函数在点处的方向导数最大的方向.,因,为梯度与的夹角,所以,最大,即沿梯度方向函数上升最快.,又因,所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.,函数值下降最快的方向,定理10.4.3设f(x)是,上的连续函数，,d是n维非零向量，如果,则d是f(x)在点x0处的一个上升方向；如果,则d是f(x)在点x0处的一个下降方向.,d与f(x0)成锐角,d与f(x0)成钝角,解：,所以函数在点处的最速下降方向为,2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量,设f(x)是n元可微函数,等值面,对于n=2的情形:,是函数f(x,y)过点(x0,y0)的等值线,在该点处,它与等值线的切线垂直.,在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.,结论:,与等值面在点x0处的切平面垂直，所以,是等值面S在点x0处的一个法线方向向量.,对于n=3的情形:,是函数f(x,y,z)的等值面,在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.,等值面,10.4.3黑赛矩阵与泰勒公式,1.黑赛矩阵,设n元函数f(x)在点x处对于自变量的各分量的二阶,连续，,偏导数,二阶导数,或黑塞矩阵,例6.,解：,计算函数的梯度与黑塞,矩阵,并求以及,因,，则,又,则,所以,例7.,解：,设皆为n维行向量，b为常数，求n维线性,函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵.,设,，于是,因,所以,当时，二维线性函数,写成向量形式是,于是,例8.,解：,设Q为n阶对称矩阵，皆为n维行向量，c为,常数，求n维二次函数在任意,点处的梯度和黑塞矩阵.,设,则,于是,又因,所以,写出二维二次函数,的梯度和黑塞矩阵.,2.泰勒公式,若函数在点的某一邻域内具有一,阶连续偏导数,且是这邻域内的一点,则有近似公式：,如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.,一元函数,的泰勒公式:,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,定理10.4.4,的某一邻域内有直,到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项.,证:令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,说明:,(1)余项估计式.,因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界M,则有,(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域D上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,例9.求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,其中,解：,由泰勒公式,其中,介于0与x,0与y,0与z之间.故