柯西留数定理及其应用

淮北师范大学2013届学士学位论文 柯西留数定理及其应用学院、专业 数学科学学院、数学与应用数学 研 究 方 向 函数论 学 生 姓 名 刘 军 学 号 指导教师姓名 张 杰 指导教师职称 副教授 2013年 4月 15日柯西留数定理及其应用刘 军(淮北师范大学数学科学学院,淮北,)摘 要本文首先通过介绍柯西留数定理的重要性、定义及证明过程,然后进一步研究柯西留数定理在一些广义积分中的应用.此后,通过一些实例结合自己的学习体会做出应用柯西留数定理在一些复杂定积分中的巧妙运算,目的是使我们在掌握定积分基本运算方法之后,熟悉一些复杂定积分,如反常积分、广义定积分的一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力.接着研究柯西留数定理在级数求和中的应用,最后研究柯西留数定理在其他方面的应用.关键词 留数定理,广义积分,定积分,级数求和Cauchy residue theorem and its applicationsLiu Jun(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, huaibei, )AbstractThis article firstly introduce the importance of the cauchy residue theorem basis, definition and the process of proof, and then studies the applications of the cauchy residue theorem in some generalized integrations. Since then, throughing some examples combined with own learning experience to make the application of the cauchy residue theorem in complex skillful operation of definite integration, the purpose is to make familiar with some complex definite integration after we master the basic operation method of definite integration, such as improper integration, some of the generalized integration and clever operation methods, strengthen the solving ability of some problems. Then study the applications of the cauchy residue theorem in series summation, and the cauchy residue theorem in other applications finally.Keywords：residue theorem，the generalized integration，definite integration，series summation 目 录引言1一、 柯西留数定理的理论基础1二、柯西留数定理的概念及其证明4三、柯西留数定理的应用4（一）辐角原理4（二）在广义积分中的应用7（三）在级数求和中的应用11（四）柯西留数定理的推广应用12结束语15参考文献15致谢16引言柯西留数定理是复变函数论中留数理论中的一个重要定理,利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算,探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用,可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分,尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将其划归为复变函数的周线积分,再把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决.柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点,如何在教学中突出重点,化难为易,是教学研究的重要内容之一.一、柯西留数定理的理论基础在复分析中,通过对函数的罗朗级数负幂项的系数与函数曲线积分的关系研究,得出函数在孤立奇点的留数概念,因此产生了留数理论,而利用留数理论来计算围线积分,特别是计算复杂的实积分,提供了一种工具,而作为留数理论中的一个最基本、最重要的定理柯西留数定理,是柯西积分定理和柯西积分公式的推广而来的,是计算解析函数沿闭曲线路径积分的一个有力工具.下面先介绍留数理论中的基本概念留数.（一）留数的定义定义1 设是函数的孤立奇点,若函数在内解析,则称积分为在孤立奇点的留数,记作,其中为圆周.注 （1）由上述定义可以看出,只有当点是函数的孤立奇点时才有意义.（2）留数与圆的半径无关.由,可以得到等于在点的罗朗展式中这一项的系数.（3）若为的可去奇点,则.在此,要介绍另一个概念对数留数.定义2 称积分为函数的对数留数,其中为一条围线,在上解析且不为零,在的内部为亚纯函数.由于,所以称上面的积分为对数留数.显然,函数的零点和极点都可能是的奇点.这个定义将在柯西留数定理的应用辐角原理中起到很大的作用.下文中会具体介绍.（二）留数的计算对于留数的计算,有以下几种方法：1、直接使用定义,通过计算函数的曲线积分而直接得到函数在某一点的留数,该方法主要有理论上的价值,实际计算中一般不用.2、利用,把函数在点展成罗朗级数,其中的系数即为函数在点的留数.例1 设函数,求和.解 由于,所以.又是唯一有限奇点,故. 3、设是的一级极点,则 . 例2 设函数,求. 解 由于,且在点1的某个去心邻域中解析,从而是的一级极点,所以.4、设是的一级极点,、均在解析,且,则. 例3 设函数,求. 解 易知是函数的一级极点,令 ,可得,所以.5、设是的一个级极点，则. 例4 设函数,求.解 易知是函数的3级极点,所以.通过以上的几种留数求法可以看出,在以后遇到的具体问题中要具体对待,更要学会灵活运用.二、柯西留数定理的概念及证明 柯西留数定理 设是复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线.设在内除去有限个孤立奇点,外,在每一点都解析,并且它在上除,外连续,则.证 以D内每一个孤立奇点为心,作圆周,使以它为边界的闭圆盘含在D内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D中除去以这些为边界的闭圆盘得到一个区域,其边界是C以及（,2,）.在内解析,在上连续.因此由文献1中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有,而,所以.三、柯西留数定理的应用（一）辐角原理在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得：引理1 （1）设为的级零点,则必为的一级极点,并且; （2）设为的级极点,则必为的一级极点,并且 .引理2 假设（1）为一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;（2）在上不为零;则函数在的内部只有有限个零点和极点.由上述的两个引理,易证：定理1 假设（1）为一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;（2）在上不为零;则: 其中与分别表示在内部零点的个数与奇点的个数（一个级零点算作个零点,一个级奇点算作个奇点）.为了进一步说明式的意义,我们给出下面的定理.定理2（辐角原理） 假设（1）是一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;（2）在上不为零;则,其中表示沿的正向绕行一周时,函数辐角的改变量.特别若在内部解析,则.下面就辐角原理的具体应用,结合实例具体分析.例1 设,用辐角原理证明在的内部有3个根.解 在曲线上没有零点,在内解析,在内部有3个零点,而没有奇点,所以.另一方面 .于是. 由此可以看出,在一些题目的计算中,辐角原理是个很便捷而有效的工具.而其中一个较重要的应用就是儒歇定理,它在考察零点分布时会起到很大的作用.下面就儒歇定理的应用做具体介绍.定理3（儒歇定理）设是一条周线,函数及满足条件:(1)它们在的内部均解析,且连续到;(2)在上,;则函数与在的内部有同样多(几阶算作几个)的零点,即.例2 设在内部解析,且连续到,在上.试证:在内部只有一个点使.证 设,则在上有由儒歇定理知,与在内零点个数相同,而在内只有一个零点,所以在内有且只有一个零点,记为,使得,即.（二）在广义积分中的应用1、计算型积分 其中为的有理函数,在是连续.设,则,由欧拉公式得,.当从变化到时,沿单位圆周正方向绕行一周,因此我们有以下的计算积分公式：可以看出上式右端是关于变量的有理函数的围线积分,且设其中的被积函数在上没有奇点,则可利用柯西留数定理来计算实积分.注 这里关键一步是利用变数代换,至于被积函数在上的连续性可不必考虑,只要看变换后的函数在上有无奇点.例1 计算积分.解 令,则.这样就有,且在圆内,只以为一阶极点,在上无奇点,由可知因此由柯西留数定理得.注 此题也可利用数学分析中的方法来求解,这里就不详细解答了,但比较起来,用复变函数中的柯西留数定理来求解要显得简单的多.2、计算型积分为了计算这种类型的反常积分,首先证明下面的一个引理.它的作用是估计辅助曲线上的积分.引理1 设沿圆弧上连续,且于上一致成立（既与中的无关）,则有.由上述引理,易证：定理1 设为有理分式,其中 与为互质多项式,且符合条件：（1）;（2）在实轴上;于是有. 例2 设,计算积分.解 设因为,所以.例3 求积分的值.解 因为由定理1知道.3、计算型积分引理2 设函数沿半圆周上连续,且在上一致成立,则 .该引理也称为若尔当引理,应用上述引理,和证明定理1一样,可得:定理2 设,其中及是互质多项式,且符合条件:（1）的次数比的次数高;（2）在实轴上;（3）;则有.将上述式子的实虚部分开,可以得到形如和的积分.由数学分析中的结论,可知上面两个反常积分都存在,其值就是柯西主值.例4 计算积分.解 因为在上半平面内无奇点,在实轴上只有两个一级极点,.于是,所以.例5 计算积分.解 因为被积函数为偶函数,故，根据定理4得，于是有和.4、计算型积分计算此种类型的积分,其主要方法是:设是有理函数,且分子比分母至少低二次,设函数.将复平面沿正实轴(包括原点)作支线割开,得其单位值域,取在正实轴上为实值的分枝,其对应记为,若是在内的各个极点,则: 例6 计算的值.解 设辅助函数,显然在处有四阶极点,其留数为.根据公式即得. 通过上述的一些实例可以看出,应用柯西留数定理计算某些类型实函数的积分,其大概思想是:为了求实函数在实轴或者实轴上的某一段上的积分,我们要适当增加某一曲线使其构成一简单闭曲线,其内部为,选取合适的函数,然后对应用柯西留数定理,就大大简化了计算问题.（三）在级数求和中的应用设是分子次数比分母至少低两次的有理函数,且其极点都不为整数,则有;例1 求级数的和.解 设,则有一个一阶极点0和四个一阶极点:.由文献6中的一个公式（6）得 .例2 求级数的和.解 因为,所以.设，显然有一阶极点0和-1，且都是的二阶极点，从而有,所以 .（四）柯西留数定理的推广应用这里有必要对推广的柯西留数定理稍作陈述,其定义如下:推广的留数定理 设在内解析,在上有极点(其中有些可能在上),此外,在上除去上有限个点处有奇异性外,处处连续,则.上述推广的留数定理,相较于原有的只是将条件稍加放宽了,在计算一些复杂的积分时,可以发挥很好的效果,对此,还要结合一下定理,这样会使计算更加便捷.定理1 假设:（1）为一区域,是一条或有限条简单闭曲线;为内一孤立点列,;在内除去外解析,在上除去外为连续;（2）级数收敛;则由上述定理,易证:定理2 设为复平面上一孤立奇点列,;在扩充复平面上除去外为解析.若级数收敛,则在应用中特别重要的是下面介绍的两个定理:定理3 在定理1的条件下，若在内某一收缩于的正常曲线族上满足,其中的意义如前,则:定理4 在定理1中条件（1）的假定下,若存在收缩于的正常曲线族使与围成的区域内仅含有点列的一点,并且在上满足条件,则有级数收敛.上述的每个定理是对区域内仅有一个极限点的点列的情形来表述的.但是,我们很容易把这些结果推广到有若干个极限点的孤立点列的情形.例1 函数（为正整数）在以为顶点的正方形曲线族上满足, ,利用的Laurent展式可得,式中为Bernoulli数.由定理2及定理3,即得.把定理2和定理3顺次应用于函数与（为正整数）,则有 , ,其中为Euler数.结束语本文主要介绍了柯西留数定理的应用,当一些广义积分无法运用正常的求解方式解答时,柯西留数定理就是一个有效便捷的途径.值得一提的是,柯西留数定理在级数求和中的应用,使得级数求和又有了一个简便的方法.在一些广义积分中,有些问题给出的数学对象所具有的求解因素并不明显外露,我们可以借助一定的方法构造辅助线,从而为问题的解法寻找简捷的途径.通常情况下,在利用柯西留数定理计算实积分时,一般总是针对那些原函数不易求出的;在计算级数求和中,先求出极点,进而利用相关的公式和定理去求解;而在其它学科中的应用,同样要结合数学中的相关知识将其转化并解答.利用柯西留数定理可以巧妙灵活地解答一些特殊实