直线的两点式和一般式方程PPT课件

直线的两点式,y=kx+b,y-y0=k(x-x0),k为斜率，P0(x0,y0)为直线上的一定点,k为斜率，b为截距,1).直线的点斜式方程：,2).直线的斜截式方程：,回顾,解：设直线方程为：y=kx+b,例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程,一般做法：,由已知得：,解方程组得：,所以:直线方程为:y=x+2,方程思想,还有其他做法吗？,为什么可以这样做，这样做的根据是什么？,即：,得:y=x+2,设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：,直线的两点式方程,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求通过这两点的直线方程,解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点,可得直线的两点式方程：,kPP1=kP1P2,记忆特点：,1.左边全为y，右边全为x,2.两边的分母全为常数,3.分子，分母中的减数相同,推广,不是!,1、是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？,两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线,注意：,当x1x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式程.(因为x1x2或y1=y2时,两点式的分母为零,没有意义),2、那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?,？,思考,3、若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?,当x1x2时方程为：xx,当y1=y2时方程为：y=y,例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线l的方程,解:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得:,即,所以直线l的方程为：,直线的截距式方程,截距可是正数,负数和零,注意：,不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线,直线与x轴的交点(a,o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?,截距式直线方程:,直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距,过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?,解:两条,例3:,2、截距为0时,y=2x,所以直线方程为：x+y-3=0,a=3,把(1,2)代入得：,设:直线的方程为:,举例,1、截距不为0时,解：三条（也分为截距为0和部位0两种情况）,(2)过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?,解得：a=b=3或a=-b=-1,直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x,设,截距可是正数,负数和零,例4:已知角形的三个顶点是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程.,解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：,整理得：5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的方程.,举例,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：,即,整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程.,过A(-5,0),M的直线方程,M,中点坐标公式：,则,若P1，P2坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)且中点M的坐标为(x,y).,B(3,-3),C(0,2)M,即M,已知直线l:2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.,解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).,当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).那么,点(2,7),(4,3)在l1上.,因此,直线l1的方程为：,化简得:2x+y-11=0,思考题,还有其它的方法吗？,ll1，所以l与l1的斜率相同,kl1=-2,经计算，l1过点(4,3),所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4),化简得：2x+y-11=0,直线方程的四种具体形式,归纳,(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？(2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示直线吗？,分析1：直线方程二元一次方程,（2）当斜率不存在时L可表示为x-x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.(x-x0+0y=0),结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.,(1)当斜率存在时L可表示为y=kx+b或y-y0=k(x-x0)显然为二元一次方程.,即：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？,（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线.,结论2:关于x,y的二元一次方程,它都表示一条直线.,分析2：直线方程二元一次方程,由分析1，2可知：直线方程二元一次方程,定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.,定义,注意：一般式中，x的系数为正；A、B、C一般不为分数；先写x项，再写y项，最后写常数项,在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：,分析:(1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0即A=0,B0,C0.,(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.,探究,例1已知直线过点A(6，4)，斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.,解：代入点斜式方程有y+4=(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.,举例,例2把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.,解：化成斜截式方程y=x+3因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.令y=0得x=6.即L在x轴上的截距是6.由以上可知L与x轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形.,举例,m,n为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?,解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，且两条直线的斜率分别为但由于所以两条直线不垂直.,（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为,综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.,点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.,练习,3)中点坐标：,1)直线的两点式方程,2)直线方程的一般式Ax+By+C=0,小结,直线的截距式方程：,五种形式的直线方程的对比,求直线方程的几种形式例1：已知直线l经过点A(5,6)和点B(4,8)，求直线的一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图,求直线方程时，结果在未作要求的情况下一般都整理成一般式把一般式化为截距式时方法有两种：分别令x0，y0求b和a；移常数项，如AxByC，两边同除以C(C0)，再整理成截距式的形式11.已知直线mxny120在x轴、y轴上的截距分别是3和4，求m、n的值,利用一般式方程求斜率,例2：已知直线AxByC0(A、B不全为0).(1)当B0时，斜率是多少？当B0时呢？(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？,当B0时，直线AxByC0的斜率是,一般式化为斜截式后求解,21.设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y6,2m0，根据下列条件分别确定实数m的值,(1)l在x轴上的截距是3；(2)斜率是1.,1过点A(2,3)和点B(2，3)的直线的一般式方程是(）,B,Ax2Cy2,Bx20Dy20,C,2斜率为k且过原点的直线的一般式方程是(）AykxBxky0Ckxy0Dkxy0,练习：,3直线l的方程为AxByC0，若l过原点和二、四象,限，则(,),D,解析：l过原点，C0，又l过二、四象限，,4直线2xy70在x轴上的截距为a，在y轴上的截,),D,距为b，则a、b的值是(Aa7，b7,思考：,若方程表示一条直线，求实数m的取值范围,解：若方程表示一条直线，则与不能同时成立.,由:得:,所以m的取值范围是：,如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角,形面积为S.,(1)当S3时，这样的直线l有多少条，并求直线的方程；(2)当