第六章 交通流体理论（课堂PPT）

1,第六讲交通流体理论,2,第一节概述,1955年，英国学者莱特希尔（Lighthill）和惠特汉（Whitham）将交通流比拟为一种流体，研究了在车流密度高的情况下的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。Richads也提出了类似的交通流理论。这种描述交通流的一阶连续介质模型，被称为LW理论或LWR理论。,3,交通流与流体流的比拟,4,第二节车流连续性方程,假设车辆顺次通过断面1和断面2的时间间隔为t，间距为x。车流在断面1的流入量为q，密度为k。车流在断面2的流出量为q+q，密度为k-k。,5,根据物质守恒定律：流入量-流出量x内车辆数的变化，即：,或：,取极限可得：,又：,故：,上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大。,6,如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：其中，是指车辆的产生（离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。,7,第三节交通波动理论,交通流回波现象,1、交通流回波现象交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进，降低车速。,uw,8,2、集散波的定义列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移动的速度，称为波速。,9,3、车流波速方程,假设一条路上有两个相邻的不同交通流密度区域，由交通流量守恒可知，在时间t内通过界面S的车数N可以表示如下：其中因此由q=ku，得or,10,4、交通波模型的意义,交通波描述了两种交通状态的转化过程,代表了转化的方向和进程。uw0，表明波面的运动方向与交通流的运动方向相同;uw=0，表明波面维持在原地不动;uw0，意味着：或前一种情况表示交通流从低流量、低密度、高速度区进入到高流量、高密度、低速度区，但两种交通流界面向下游运动，即高密度区并未向上游扩展。例如，当两条4车道支路汇集到一条6车道主路时会出现这种状况。后一种情况表示交通流从高流量、高密度、低速度区进入低流量、低密度、高速度区，下游交通状态变好，但因交通波向前运动，并不改善上游交通状态，如当交通流从一条6车道的主干道分入两条4车道的支路时会出现这种状况。,12,uw=0的情形，此时只有q2-q1=0。这是一种流量相同、速度和密度不同的两种交通流状态的转换。当交通流量不大，道路由多车道变为少车道或反之，都会出现这种状态。或者交通流停止运行状态，如信号交叉口遇红灯时。此时的交通波发生在瓶颈处，既不前移，也不后退。,13,uw0，则为前进波；若AB=0，则为静止波；若ABqA,则波BC追上波AB后产生新的前进波AC,其大小为：,28,令入口车辆到达流量为:qA=pqm0p1考虑到受信号灯的影响,交叉口处车流密度较大,故采用适用于拥挤流状态的Greenberg速度-密度v-k模型进行解算。,此为关于kA的一元非线性方程，一般数学方法无法得到解析解，但可通过迭代法(如牛顿法)求得kA的数值解。,上式关于k取微分求极值,得:,29,令x=kJ/kA,x1,于是有kA=kJ/x,因此有:令则有,30,车队消散的时间:,车队消散时间与波速无关,仅与红灯时间及车辆到达率有关。当p=1时,T为无穷大,将造成堵车现象。,31,算例：,假定车辆平均长度d=6.0m,交通阻塞时单车道车辆间的平均距离y=2.04m，通过交叉口时车辆间的最小平均车头时距hm=2.0s,则平均车头间距ha及阻塞密度kj为:ha=d+y=6.0+2.04=8.04m；kj=1000/ha=1000/8.04=124veh/km最大流量为:q=3600/hm=3600/2.0=1800veh/h取p=0.1,在00,出口匝道g(x,t)0，即前方密度趋于增大时，0，这意味着车流开始加速。,54,55,5）速度动态模型,对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装置等都要有一个调整时间，故车速的变化总比前方X处密度的变化滞后一个时间:进一步：X取为平均车头时距为宜，即X=1/k，再把近似地看作常数并且小于零，引入一个大于零的常数,55,56,式中T是周期长，j指第j采样周期。式中右端第三项引入了一个调整系数，这是为了便于调整该项权重，使模型更容易适合实际的交通情况。第二、四两项的权重可以通过适当估计、的值加以调整。,连续形式的速度动态模型,离散化的速度动态模型,离散化的速度动态模型为实用的速度动态模型，它能够精确地描述道路交通流空间平均速度的动态变化，包括交通拥挤情况、交通从顺畅过渡到拥挤的过程。,56,57,在动态过程中，平均速度由四个方面决定:（1）前一时刻的速度；（2）平均速度要朝着稳态方向变化，即朝着与相一致的数值趋近，井且驾驶员反应越快，这一作用越大；（3）平均速度值与上游相邻路段中的速度有关；（4）平均速度值与下游相邻路段内的交通密度有关。上述模型对于车道数目单一、出入口匝道无太大进出流量冲击的公路，能够以令人满意的精确度描述各种不同交通状况以及相互间转变的过程、常发性与偶发性交通拥挤现象的出现及其消除过程。但在车道数目有所改变或匝道流量较大的情况下，需要对模型加以扩展，即引入适当得修正项才能使用。,57,58,（2）高阶连续介质模型(引入动量方程的流体力学模型),基本连续性方程只能在所谓的平衡态时才是合理的。但在实际的交通流中，这种平衡态几乎不存在。如果对于车流从低密度到高密度流动的情况，这一模型会导致高密度区域出现一种“自锁的倾向”，即上下游一定的密度分布值可使在高密度区域的车流流入量大于流出量，而且这种情况会一直持续下去，这一现象必然会导致车队的不稳定运动。为了解决上述问题，有关学者提出引入动量方程。这一方面考虑了惯性的作用，即认为由车头时距或密度所确定的速度不是当时就达到，而是要在一段时间之后；另一方面考虑了前面各车相邻车距对当前车辆车速的影响。这意味着某地的车流速度不再由当地密度值决定，而是依赖于它前方某处的密度值。动量方程的形式有很多，主要有Payne模型、Papageorgiou模型、Phillips模型、Ross模型、Michalopoulos模型、Karaaslan模型、吴正模型和Kockelman模型等,59,Payne模型,其中x=0.5/k为经验公式,T为跟驰理论中的车辆延迟时间。,Payne认为平均速度v与密度k存在以下关系,右边第1项表示驾驶员调节其速度以达到平衡的速度-密度关系的加速过程,第2项为预期项,表示驾驶员对其前方交通状态产生反应的过程。,60,Payne模型离散形式,式中：t为时间间隔；为车道数；为各路段长度；为在路段上于时间段流入的流量；为在路段上于时间段流出的流量；为松弛时间；为路段速度，为预测参数。,右边第一项为上一路段速度对本路段速度的影响；第二项为驾驶员驾驶行为的体现，驾驶员往往根据平衡时的速度和密度关系来调整自己的速度；第三项为下一路段的密度对本路段速度的影响。,61,评述Payne模型最大的贡献在于提出了动态速度-密度关系模型。实验数据表明，Payne模型对于一般的交通流描述非常理想，但对于密度突然变化的交通状况其调节过程非常缓慢，模型中仍然隐含了速度-密度关系假设。在高密度情况下模型可能会遇到稳定性问题,其密度可能极高从而大大偏离实际。Castillo等人对Payne连续模型进行了线性稳定性分析,结果发现车辆总是在稳定的范围内行驶,这与实际情况不符。于是，Papageorgiou提出了改进模型。,62,Papageorgiou模型,式中，分别为入口匝道和出口匝道流量；为路段长度；T为采样周期；为延迟时间；为对流系数；为限制因子；为路口形状相关系数；为平衡状态时的速度-密度关系。,63,评述Papageorgiou模型中增加了进、出口匝道流量变量项，因而在交通流仿真尤其是高速道路交通流仿真比较有用。Papageorgiou模型在交通流比较均匀时可以很好地描述交通流状态，但当某一路段下游发生阻塞时，它就表现出一定的局限性。仍未解决在高密度情况下稳定性差的问题。此外，在Papageorgiou模型中采用的平衡速度-密度关系模型时，并没有考虑各种重型车辆的影响（如货车的比例）。如果货车被限制于右车道时问题更为突出，这时右车道可能已经阻塞，但内部各个车道仍然畅通，其交通流不能看作是均匀的交通流。,64,Phillips模型,p=p(k,v)称为交通压力,为密度与交通流速度分布的方差之积,类似于气体动力学中的压力。,Phillips推导出下列动量方程,65,评述Phillips模型将车辆间的相互作用看作类似于气体动力学中的分子间相互作用,在一定程度上可以考察多车道上的超车和车道改变因素。在低密度情况下从Phillips模型可得到与Payne相类似的结果,但在高密度时结果却大不相同。Phillips模型中交通压力p=p(k,v)以及v(k)的确定异常复杂,因而难以得到广泛应用。,66,Kuhne模型,进一步地,Kuhne在动量方程中引进流体粘性影响,式中，c0表示直接与车辆跟驰特性有关的音速,称为粘性系数。,67,评述Kuhne模型可用于超拥挤状态的交通分析但仍需确定平衡状态下的速度-密度关系,因而并未解决Payne模型中的根本问题。,68,Ross模型,Ross提出了一个简单的连续介质模型,其动量方程为,式中vf为畅行速度,k为阻塞密度,c为最大流量。,69,评述Ross模型完全抛弃了平衡状态下的速度-密度关系,避免了前述各模型中类似于Payne模型中的问题,因而能较好地还原交通流的动力特性。但Ross模型假设队列是不可压缩的,因而一旦队列头部开始启动则整个队列立刻全部启动,发车冲击波的传播速度无限大,导致车流稳定性较差,与实际情况不符。,70,吴正模型,式中：为车流经过单位面积路面时所受到的阻力；A为车道数；p为交通压力，可以写为，c和n为两个可调参数，改变它们的值可以使模型适用于不同的交通状况。,我国学者吴正将一维管道流动的动量方程引入交通流模型,71,评述该模型曾用于对上海和杭州的几个路段进行仿真分析，准确地求出了临界密度和临界流量，还对不同时间周期的交通波以及瞬间阻塞交通过程进行了模拟。实际验算表明，该模型可以较好地模拟各种道路条件和混合交通条件下的交通过程。该模型的局限性在于：仅限于城市低速混合交通流；待定参数过多且难以确定导致实际应用上的困难。如交通状态指数n的确定，由于p和n是指数关系，p对n的变化十分敏感，而其在实际中很难精确测定；混合交通流中各种车辆的相互影响和干扰是在不断变化的，很难定量化，故参数w很难确定。,72,Daganzo模型(Cell-TransmissionModel,CTM),1994年Daganzo提出了一个“与流体动力学模拟模型相一致”的元胞传递模型。它是将道路分成若干段,每段称为一个元胞,元胞的长度取为一典型车辆在交通畅通条件下在一个时间步长里的行程;其模型的一般形式为：,ni(t+1)=ni(t)+yi(t)-yi+1(t),yi(t)=minni-1(t),Qi(t),Ni(t)-ni(t),式中yi(t)为t到t+1时刻内,从元胞i-1进入元胞i中的车辆数;ni-1(t)为时刻t时元胞i-1中的车辆数,Qi(t)为时刻t的最大流量,Ni(t)为t时刻元胞i可能出现的最大车辆数。,73,假定交通波只可能有两个取值：一个为正，另一个为负(反向波)，波速分别记为、，则扩展了的元胞传递模型为：,yi(t)=minni-1(t),Qi(t),Ni(t)-ni(t),74,评述CTM是一个简单的交通模型，适用于只有一个出口和入口的道路，尤其是高速路交通流。Daganzo在理论上论证了CTM是L-W理论的离散化近似，但CTM可以捕捉到交通流中的不连续变化现象，而L-W模型却不能。以往大多数流体动力学模拟模型中没有也不能区分具有不同目的地的车流，当车流到达一个分叉点从而面临路线选择时,通常总是不合实际地假定车流遵循固定的转弯率或离开率；CTM的一个重要特性是假定每一步长进入元胞的车辆数目与离开该元胞的车辆数无关，只与当前的交通条件和环境有关。CTM期望通过这一假定克服了上述缺陷，并有效地应用于复杂网络的交通分析。遗憾的是，这一假定只能在自由流甚至稀疏流情况下成立，CTM要求每一段道路上的车流密度低于拥挤密度。这就决定了CTM应用上的局限性。,75,Kockelman模型,上述模型均未考虑驾驶员心理、天气条件等环境因素对交通流模型的影响，于是Kockelman提出了考虑各种影响因素的交通流模型。在Kockelman模型中，把驾驶员分为几种类型，每一种类型的驾驶员在自由流时都有自己的期望自由流速度。同样，在拥挤时也有自己的期望车头间距和期望速度。,76,自由流时，拥挤流时，模型假设每类驾驶员的期望车头间距是速度的线性函数：,77,交通流流体动力学模型的总评述,流体动力学模型本质上是基于速度密度关系建立起来的。目前流体动力学模型中广泛采用的动态速度-密度关系仍是Payne模型。流体动力学模型的适用范围有限,它似乎更适用于稠密、均匀、稳态的交通流情形,而对于自由流和间歇流情形无能为力。即使对于非自由流情形,流体动力学模型也不能完全解释交通拥挤、走走停停(goandstop)交通、交通堵塞和车流不稳定现象。从计算角度看,流体动力学模型中的偏微分方程难以求解,传统的特征线法计算过程复杂。从控制的角度来看,求解问题时需要对模型作空间离散化,由此得到一个差分微分方程。选取适当的离散化步长和差分格式是保证计算收敛的关键。流体动力学模拟模型未考虑司机行为影响,与微观跟驰理论脱节,不能对交通流进行有效的稳定性分析。,78,阅读参考文献：,PipesLA.AnOperationalAnalysisofTrafficDynamicsI.AppliedPhysics,1953,24(3):27428LighthillMH,WhithamGB.OnKinematicsWave:II.Atheoryoftrafficonlongcrowdedroads.Proc.R.Soc.London,Ser.A.1955,22:31734PapageorgiouM.MacrocopicmodelingoftrafficflowontheBOULEVARDPERIPHERIQUEinParis,Transp.Res.,1989,23B(1)PhillipsW-F.Anewcontinuumtrafficmodelobtainedfromkinetictheory.IEEETrans.Autom.Control.AC-23,1978,103210