2.7 函数的弹性（课堂PPT）

湘,1,2.7函数的弹性,一、函数弹性的定义,二、弹性在经济分析中的应用,三、小结,湘,2,1.函数的绝对变化率与相对变化率,前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对,改变量与绝对变化率.但从实践中得知,仅仅研究,函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的,还需,要研究函数的相对改变量与相对变化率.,一、函数弹性的定义,湘,3,湘,4,设函数y=f(x)可导，当自变量x在x0处给以增量,时，相应地，函数y有增量,称,为函数自变量与因变量的绝对改变量，,而称,为自变量与因变量的相对改变量,称,为函数从的相对变化率,湘,5,如,当x由10变到12时,y由100变到144.,此时，绝对改变量为,而相对改变量为,表示当x由10变到12时，x产生了20%的改变，,而y产生了44%的改变,湘,6,表示在(10,12)内,x从x=10,每改变1%时,y,平均改变了2.2%，它为从x=10到x=12时,函,数y=x2的相对变化率,且,湘,7,定义2.7.1设函数y=f(x)在点x=x0处可导，函数,的相对改变量,2.函数弹性的定义,湘,8,变化率，,或称为从x=x0到,两点间的弹性,而当,两点间相对变化率的极限,称为f(x)在点x=x0的相对变化率，也称为f(x)在x0的,弹性.记作,且,湘,9,一般的，如果y=f(x)可导，称,为f(x)的弹性函数,函数f(x)在点x的弹性,反映了函数f(x)随自,变量的变化而变化的幅度大小(灵敏度):,当x变化1%时，函数y变化了,湘,10,由,边际函数,平均函数,即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商,注意两点间的弹性是有方向性的,因为“相对性”,是对初始值而言的.,也就是说:,两点间的弹性是不同的.,湘,11,即指数函数的弹性为线性函数,例2求函数,的弹性函数,解,例1求函数,的弹性函数,解,即幂函数的弹性为其幂指数b.,湘,12,二、弹性在经济分析中的应用,1.需求弹性与供给弹性,定义2.7.2设某商品的需求函数为Q=f(P),在,处可导，称,为需求函数Q=f(P)在P=P0与,两点间,的需求价格弹性，,记作,(2.7.3),湘,13,而称,为需求函数Q=f(P)在P=P0处的需求(价格)弹性，,记作,(2.7.4),价格从,每,湘,14,表示:当商品价格为P0时,若价格上涨(下降)1%时，,当把定义中的P0换成P时，所得结果分别称为需,及需求的(价格)弹性函数,湘,15,说明需求弹性是刻画当商品价格变动时,需求,变动的强弱.由于需求函数Qf(P)是单调减少,函数,则P与Q异号,而P0,Q0是正数,于是,都是负数.,为了用正数表示需求弹性,于是采用需求函数,相对变化率的反号来定义需求弹性.,湘,16,例3某商品的需求函数为,求,（2）P=30的需求弹性,解（1）,说明价格从30降至20，在此区间内，价格每降,1%,需求量从40平均增加1.5%.,湘,17,（2）,则,需求的弹性函数为常数，说明在任何价格P处，,弹性都不变，称为不变弹性函数,即价格上涨,（下降）1%需求量就会下降（上涨）1%.,湘,18,例4某商品的需求函数为,求,（1）需求弹性函数；,（2）P=3,5,6时的需求弹性,解（1）,（2）,湘,19,说明需求变动的幅度小于价格变动,的幅度,即P=3时，价格上涨（下降）1%，需求,量下降(上涨)0.6%.,一般的,当,时,称商品,需求在此处缺乏弹性,说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同,称商品需求在此处具有单位弹性,说明当P=6时需求变动幅度大于价格,湘,20,变动幅度即P=6时，价格上涨（下降）1%,需,求量下降（上涨）1.2%.,一般的，若,商品需求在此处富有弹性,则称,下面讨论供给弹性:,湘,21,定义2.7.3设某商品的供给函数为Q=g(P),在,处可导，称,为供给函数Q=g(P)在P=P0与,两点间的,供给弹性，,记作,湘,22,而称,为供给函数Qg(P)在PP0处的供给弹性，,记作,2.需求弹性与总收益,总收益=商品的价格需求量,商品的需求弹性会引起总收益如何变化?由于,湘,23,即,湘,24,可以看出:,即该商品为缺乏弹性商品时，,价格上涨,总收益会增加;价格下降,总收益会减少;,需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等，价格的,变动不会引起总收益变化,即该商品为单位弹性商品时，,湘,25,即该商品为富有弹性商品时，,价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增加,综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，,随商品需求弹性的变化而变化.一般来说,富有弹性,商品降低价格可以增大收益,缺乏弹性商品提高价格,可以增大收益.,下面讨论总收益的变化率问题.,湘,26,由,则,例5某商品的需求函数为,说明当价格变化1%时,总收益将变化,湘,27,（1）求需求弹性函数；,（2）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义；,（3）当P=3时，若价格上涨1%，总收益如何变化？,解（1）,（2）,湘,28,经济意义为:当价格P=3时，若价格上涨（下降）,1%商品的需求量将下降（上涨）0.176%.,（3）P=3时，若价格上涨1%,由于,则总,收益增加，且增加的幅度为,即增加,湘,29,3.需求弹性与边际收益,若将商品的价格P看成需求量Q的函数,则,总收益为,边际收益为,又,湘,30,从中可以看出：对富有弹性商品，增加产品的,销售量可使总收益增加，而对缺乏弹性的商品，,减少产品的销售量可使总收益增加,湘,31,例6某商品的价格P与销售量Q的函数关系为,而成本函数为,当边际收益,需求弹性,时，利润,最大,（1）求利润最大时的产量；,（2）求a,b的值,湘,32,解（1）由最大利润原则,有,解得,因为,而,则,又,因此,湘,33,又因为,得,则只有Q=11满足,因此，产量为,11时，利润最大,（2）由需求弹性与边际