异面直线所成角问题

异面直线所成角问题12016全国卷 平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析A在正方体ABCD A1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AEB1D1，AFCD1，所以平面AEF平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面，所以AE为平面与平面ABCD的交线，即为m，AF为平面与平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为CD1B1.而CD1B1为等边三角形，因此CD1B1，所以sin CD1B1.2三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于_答案：45；解析 如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，则C1NCM，所以BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N，BN，BC1，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则BC1N45.32015浙江卷 如图所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_答案：；解析 连接ND，取ND的中点为E，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角为EMC.因为ANNDMC2 ，所以ME，CE，则cosEMC.4.2016湖南衡阳一模 如图所示，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PAPBPCPDAB2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为_答案：；取AD的中点F，连接EF，BF.因为E为PA的中点，所以EFPD，EFPD1.因为三角形PAB为等边三角形，所以BE.因为四边形ABCD为正方形，所以BF，所以在三角形BEF中，由余弦定理得cosBEF，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.5.2016湖南郴州摸底 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与D1C所成的角为()A30 B45 C60 D90答案：D；解析 (1)连接AB1，AC1.CD1B1C1，CD1AB1，AB1B1C1B1，CD1平面AB1C1.AE平面AB1C1，AED1C，异面直线AE与D1C所成的角为90.6.2016长春四模 六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线AE与CB1所成角的余弦值为_答案：；解析 连接AF1，EF1.CB1EF1，AEF1是异面直线AE与CB1所成的角设AB1，则AF1EF1，AE211211cos 1203，即AE，cosAEF1，直线AE与CB1所成角的余弦值为.72016海南文昌中学期末 如图所示，已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成角的大小为_答案：30；解析 取AD的中点G，连接FG，EG，又E，F分别为AC，BD的中点，所以FGAB，且FG1，EGCD，且EG2，所以EF与CD所成的角即为EF与EG所成的角，即FEG，又EFAB，即EFG90，所以FEG 30.82016衡水中学六调 如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为正方形，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案：D；解析 连接BC1，A1C1，则BC1AD1，A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角，记AB1，则A1BBC1，A1C1，在三角形A1BC1中， 由余弦定理得cosA1BC1，所以异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为.92016浙江五校二联 如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，DAB60 ，沿BD将ABD翻折，得到三棱锥ABCD，则当三棱锥ABCD的体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为()A. B. C. D. 答案：B；解析 在平面BCD内过D作DEBC且DEBC，则ADE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角，连接BE，AE，设BD的中点为O，连接AO，EO，当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ABD平面BCD，所以AOEO，于是AE，在三角形AED中，cosADE，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.102016哈尔滨六中模拟 如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A90 B75 C60 D45答案：A；解析 延长DA到E，使AEDA，连接PE，BE.ABCBAD90，BC2AD，AEDA，DEBC，DEBC，四边形CBED是平行四边形，CDBE，PBE就是异面直线CD与PB所成的角PAD是等边三角形，PAD60，PAE120.在PAE中，AEPA，PAE120，PEAE.在ABE中，AEAB，BAE90，BEAE.PAB是等边三角形，PBABAE.在PBE中，PEAE，BEAE，PBAE，PB2BE2PE2，PBE是直角三角形，且PBE90.故选A.112014全国卷 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案：B：解析 如图所示，取AD的中点F，连接EF，CF，则EFBD，故EF与CE所成的角即为异面直线CE与BD所成的角设正四面体的棱长为2，则CECF，EF1.在CEF中，cos CEF，所以异面直线CE与BD所成角的余弦值为.12如图是三棱锥D ABC连接DO后的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A. B. C. D.答案：A：解析 由题意，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC的中点，取AC的中点E，连接DE，OE，则OE1.易知AE1，由于OEAB，故DOE即为异面直线DO与AB所成的角或其补角易知AB平面DAC，又OEAB，所以OE平面DAC，所以OEDE，即DEO为直角三角形在DBC中，易知DCDB，OC，所以DO，所以cosDOE.13如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_答案：60；解析：连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.14.直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45 C60 D90答案：C；解析：如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1成60的角152014广州模拟在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.B.C.D.答案：D；解析：如图所示，设ACBDO，连接VO，由于四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC.所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.162014西安模拟在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_答案：60；解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其补角设PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cosFDE，所以FDE120.所以直线PC与AB所成角的大小是60.17如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案：60；解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BHAE于H，连接B1H，则在RtAHB1中，B1AH为AB1与BD所成角设AB1，则A1A，B1A，AHBD，cosB1AH，B1AH60.18.已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.解：如图，取AC的中点P，连接PM、PN.则PMAB，且PMAB.线AB和MN所成的角PNCD，且PNCD，MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)则MPN60或MPN120，若MPN60，PMAB，PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)又ABCD，PMPN，则PMN是等边三角形，PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形PMN30.19.正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解析：(1)如图所示，连接B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分别为AB、AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.20(13分)2016冀州中学模拟 如图K399所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为.A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，假设不成立，AE与PB是异面直线(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，异面直线AE和PB所成角的余弦值为.21(12分)2016湖南十三校二联 如图K3910所示，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离解：(1)CDAB，MDC或其补角即为异面直线AB与MD所成的角作APCD于