电动力学》理论证明集锦

电动力学理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。在此编撰了与电动力学课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。第一章 电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。证明设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为,由麦克斯韦方程之一(安培环路定理)给出对方程两边作任意闭合曲面积分，得即给出总电流为因为矢量场的旋度无散度:，故-2. 若是常矢量，证明除R=0点以外，矢量的旋度等于标量的负梯度，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明在的条件下，有另一方面经比较以上两式的右边，便可给出的答案。注释:本题中所见的矢量和标量的形式在电动力学内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩激发的电势：；（2）磁偶极矩产生的磁标势：；（3）磁偶极矩产生的磁矢势：。-3试由电场积分公式出发，证明。证明因为，得到根据函数的挑选作用，给出-4试由毕奥-萨伐尔定律出发，证明。证明 方法1：间接积分计算其中：。直接计算可得。以下进一步计算，分两步运算：计算：其中第一项因为：；第二项运用稳恒电流条件，结果也为零。计算：最终得到： 方法2：直接积分计算利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算 （交换积分次序） （利用）注意，则，有 （运用斯托克斯公式） （交换积分次序） 其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了运算与无关。注意到，进一步有 化成微分式得方法3：直接微分计算利用公式和关系，直接计算 因为（求导与函数变量无关），故利用函数的挑选作用，给出-5试证明在均匀电介质中存在关系。证明因为，并且，=常数，所以-6试证明在均匀磁介质中存在关系。证明因为，并且,=常数，所以-7证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。证明（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。设两电流元相距，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为其中。应用安培力公式，给出电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为虽然、，但一般情况下，即，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。方法1：（场）电流圈1（闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为电流元2（电流圈2上的抽样）所受的磁力为进一步，电流圈1对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为其中第一项的积分为 这里对回路2的积分应用了斯托克斯公式，是以闭合回路为周界的任意曲面，且应用了的结果。所以同理可得比较以上两式，且注意到，可得。方法2：（力）依据电流元1对电流元2的作用力给出电流圈1（闭合回路1整体）对电流元2的作用力为进一步，给出电流圈1对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为其余运算同前（从略）。综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。-8已知一个电荷系统的偶极距定义为，利用电荷守恒定律证明的变化率为证明因为并矢的散度为,两边作积分得其中是的函数。所以 又，故第二章 静电场9简略证明矢量场的唯一性定理。证明假定有两个矢量场均满足定解条件，即引入差函数，则可见无旋，引入对应的势函数，代入的散度方程给出即势函数满足拉普拉斯方程，且在S面上将以上结果代入格林第一公式得到因为，所以。又由于被积函数（非负），故上式成立的条件要求，即，亦即，满足所给定解条件的解是唯一性的。-10 一块极化介质的极化矢量为，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为另外，根据极化电荷公式及，极化介质所产生的电势又可表为试证明以上两式是等同的。证明因为，所以 。证毕第三章 静磁场11试证明矢量场能够代表磁场。证明检验是否等于0：因为的大小仅为的函数、方向沿，在球坐标系下容易求出满足高斯定理，故能够代表磁场。再用另一场方程在球坐标系下计算旋度，求得对应的电流分布为-12试证明规范变换函数满足泊松方程。证明 在的定义下，作规范变换：其中为任意可微的标函数（规范变换函数），则即虽不同于，但对应于同一个。在静磁场中，人为常取（库仑规范）。 若，则可寻找，使，但对需要有限制：或即规范变换函数满足泊松方程。第四章 电磁波的传播13大部分晶体属于各向异性介质，其中麦克斯韦方程组最简单的解是且。试证明晶体光学第一基本方程成立。其中为波传播方向的单位矢量。证明应用无源区域的麦克斯韦方程组对于常幅矢和行波因子为的形式，存在代换：所以将以上关系代入展开式：得利用得即。证毕-14频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若仍按变化，但不再与平行（即不成立）。（1）证明，但一般；（2）证明；（3）证明能流与波矢一般不在同一方向上。证明（1）应用无源区域的麦克斯韦方程组由于仍按变化，则存在代换。利用，上述方程化为由第一、第二式给出从而综上可见。此外，虽然，但由于，故一般，直观图示如右。（2）将代入中得。（3）利用计算因为，所以上式中第二项不为0，即能流与波矢一般不在同一方向上。注释: （1）本题中不再与平行，即不成立；但应用了，即是电各向异性介质。（2）因为，即，又，故三者组成右手系；此外，因为，故三者共面，但不平行于。显然，与之间的夹角也就是与之间的夹角。-15试证明在不同介质分界面上电磁波反射和折射时能量守恒。证明设平面波的入射角、反射角和折射角分别为，分界面的面积为，其中为介质的法矢。（1）入射到面积的功率为注意到一般介质，所以（2）反射波、折射波的功率之和为将电场矢量分解为垂直于和平行于入射面分量的叠加，即，则由电场矢量垂直于、平行于入射面情况的菲涅耳公式得利用折射定律，即得其中第一项、第三项之和可以利用三角函数化为同理，第二项、第四项之和化为综合以上得最后，比较（1）式、（2）式的结果，可得，即入射波的功率等于反射波的功率与折射波的功率之和。进一步表明反射波能量与折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介质分界面上电磁波发生反射和折射时遵守能量守恒定律。注释:（1）本题结果，即可以借助于反射系数R和折射系数T进行表示。反射系数和折射系数的定义为因为，所以即（2）电磁波在介质界面上发生反射和折射，其反射率和折射率的定义为，它们不同于反射系数和折射系数的定义。由于反射波与入射波在同空间，但与折射波在异空间，所以。-16试证明导体内部透入任一体积的电磁波能量正好等于这块导体产生的焦耳热。证明（1）设电磁场为：则在良导体内所以 故在单位时间内由Z=0金属表面单位面积平均流入内部的电磁能量为（2）另外，金属内部的电流J引起焦耳热功率密度平均值为：故单位面积为底、Z为高的体积内，在单位时间内平均热耗能量为：其中，可见。 证毕-17试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。 证明取Z轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为：其中为表面处的电场。此电流分布在导体表面附近厚度的薄层内视为面电流分布：由此得面电流最大值平方为：而导体内平均热功率密度为：导体表面单位面积平均热功率为：将代入上式，有而良导体，所以与比较，可得表面电阻。即良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。证毕第五章 电磁波的辐射18证明：如果和满足洛仑兹规范，则只要选择这样一个标函数使之满足，则新的矢势和标势，仍然满足洛仑兹规范。证明设和是满足洛仑兹规范的势函数，作规范变换则将代入之，得表明，只要满足，则和也满足洛仑兹规范条件。-19证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射。证明 设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，粒子的荷质比相同，则体系的电偶极矩、磁偶极矩分别为（1）电偶极矩在的非相对论情形，应用质心运动定理。质心的矢径为即，则。由于系统不受外力，则质心加速度。将代入电偶极矩中，给出因为，所以。由电偶极矩辐射公式可知该体系不存在电偶极矩辐射。（2）磁偶极矩其中体系的角动量，系统不受外力时角动量守恒，即，故。由磁偶极矩辐射公式可知该体系没有磁偶极矩辐射。-20试证明真空中电磁场的动量公式可以用表示为。证明另外即,所以代入得最后将上式代入得因为三个面积分的被积函数都反比于R的三次方，而S的边界面积正比于R的二次方。因而注释:结合所证结果，给出一个应用示例：一质量为、带电为的粒子在磁场中运动，试在稳定情况下给出带电粒子的总动量。因为，所以；考虑到带电粒子在磁场中以速度运动，机械动量为。给出该带电为粒子在外磁场中的总动量为第六章 狭义相对论21试用相对论动量能量的变换式证明：是一不变量。证明因为，且，写成矩阵形式为即则-22试证明在洛仑兹变换下与为不变量。证明由