中考数学：初中几何最值问题

,中考总复习,-初中几何最值问题,最值问题,如图,定点A,B在定直线l的同侧,在定直线l上找一动点P,使PA+PB的值最小.,模型1,如图,定点A,B在定直线l的异侧,在定直线l上找一点P,使|PA-PB|的值最大.,模型2,如图,点N为定点,点M为动点,折叠图形后.求AB的最小值;求点A到BC距离的最小值.,模型3,轴对称求最值模型,典例1,如图,在ABC中，AB=AC，AD、CE是ABC的两条中线,点P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC,AB=AC,AD是中线,ADBC,点B,C关于直线AD对称.连接CE交AD于点F,当点P与点F重合时,BP+EP的值最小,最小值为CE的长.故选B.,B,F,轴对称求最值模型,矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),点D是OA的中点,点E在AB上,当CDE的周长最小时,点E的坐标为.,练习1,(3,43),轴对称求最值模型,点B的坐标为(3,4),OA=3,OC=4,C(0,4).点D是OA的中点,OD=AD=32.如图,作点D关于直线AB的对称点F,则AF=AD=32,故点F的坐标为(92,0).根据轴对称的性质,可知直线FC与AB的交点就是使得CDE的周长最小的点E.利用待定系数法可得直线CF的解析式为y=-89x+4,当x=3时,y=43,故点E的坐标为(3,43).,练习1,轴对称求最值模型,如图,在平面直角坐标系中,点A(1,5),B(3,-1),点M在x轴上运动,当AM-BM的值最大时,点M的坐标为.,(72,0),典例2,轴对称求最值模型,如图,作点B关于x轴的对称点B,连接AB并延长与x轴交于点N,此时AN-BN=AN-BN=AB,MA-MB=MA-MBAB.点B和点B(3,-1)关于x轴对称,B(3,1).设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(1,5),B(3,1)分别代入,得+=5,3+=1,解得=2,=7,故直线AB的解析式为y=-2x+7,令y=0,解得x=72,当AM-BM的值最大时,点M的坐标为(72,0).,典例2,轴对称求最值模型,练习2,(2,-6),轴对称求最值模型,易知抛物线的对称轴为直线x=2.如图,作点C关于直线x=2的对称点C(3,-3),作直线AC,与直线x=2交于点D.设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(4,0),C(3,-3)分别代入,得4+=0,3+=3,解得=3,=12,故直线AC的解析式为y=3x-12,当x=2时,y=-6,故点D的坐标为(2,-6).,练习2,折叠（应用垂线段最短）求最值模型,如图，在等腰ABC中，AB=BC=4，把ABC沿AC翻折得到ADC.若B=120，点P、E、F分别为AC、AD、DC上的任意一点，则PE+PF的最小值为.,典例3,应用圆求最值模型,如图，ABC中，BAC=90，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的o交BD于E，则线段CE的最小值是_,典例4,，,8,折叠（应用圆）求最值模型,如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值为.,在该问题中,先找到定点F,再以点F为圆心、CF的长为半径作圆,则点P在该圆上运动,求点P到AB距离的最小值,即是求F上的点到AB的最小距离,过点F作AB的垂线,交F于一点,当点P与该点重合时,点P到AB的距离最小,据此求解即可.,65,练习3,折叠（应用圆）求最值模型,当点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.故点P在以点F为圆心、以2为半径的圆上运动.如图,过点F作FHAB交F于点P,垂足为点H,此时PH最短,则AFHABC,FHBC=FAAB.由已知得AF=4,AB=10,FH8=410,即FH=165,PH=FH-FP=165-2=65.故点P到AB距离的最小值为65.,练习3,化立体图形为平面图形求最值模型,如图，圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路径长是_,典例5,82,平面几何最值问题,已知，在平面直角坐标系中，A(1,5)、B(3,2)，(1)若动点P(m,0)，求m为何值时，PAB的周长最小?(2)若动点P在直线y=x上，求PA+PB最小时点P的坐标?(3)若动点P(0，m)，求m为何值时，|PB-PA|最大?(4)若动点P在直线y=x上，求|PA-PB|最大时点P的坐标?(5)若C(a,0)，D(0，b)，求四边形ABCD的周长最小值?(6)若C(0，a)，D(0，a+4)，求a为何值时，四边形ABCD的周长最小?,练习4,轴对称求最值模型,如图,AOB=45,点P是AOB内一点,PO=5,点Q,R分别是OA,OB上的动点,则PQR周长的最小值为.,52,练习5,轴对称求最值模型,如图,分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,OB于点Q,R,此时PQR周长最小,为MN的长.由轴对称的性质可得,OM=ON=OP=5,MOA=POA,NOB=POB,则MON=2AOB=245=90.在RtMON中,MN=2+O2=52,即PQR周长的最小值等于52.,练习5,轴对称最值模型,如图,在平面直角坐标系中,AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)在OB上,点M是ON的中点,AOB=30,要使PM+PN的值最小,则点P的坐标为.,定点M,N在定直线OA同侧,求PM+PN的最小值时,可作点N关于定直线OA的对称点N,再连接MN,根据两点之间线段最短,得到点P,M,N共线时,PM+PN的值最小,据此进行求解.,随堂练习1,(32,32),轴对称最值模型,如图,作点N关于OA的对称点N,连接NM交OA于点P,此时PM+PN的值最小.OA垂直平分NN,AOB=30,ON=ON,NON=2AON=60,NON是等边三角形.点M是ON的中点,点N(3,0),NMON,ON=3,OM=12ON=32,PM=OMtanAON=3233=32,P(32,32).即要使PM+PN的值最小,点P的坐标为(32,32).,随堂练习1,轴对称求最值模型,如图,抛物线y=12x2+52x-2与x轴交于点A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大?若存在,求出点S的坐标,并求出SD-SB的最大值;若不存在,请说明理由.,随堂练习2,轴对称求最值模型,解：在y轴上存在一点S,使得SD-SB的值最大.如图,作直线BD交y轴于点S,此时SD-SB有最大值,最大值等于BD的长.y=-12x2+52x-2=-12(x-52)2+98,点D的坐标为(52,98).将y=0代入y=-12x2+52x-2,得-12x2+52x-2=0,解得x1=1,x2=4,点B的坐标为(1,0),点A的坐标为(4,0).,随堂练习2,轴对称求最值模型,设直线BD的解析式为y=kx+b,将B(1,0),D(52,98)分别代入,得+=0,52k+b=98,解得=34,=34,故直线BD的解析式为y=34x-34,点S的坐标为(0,-34).,随堂练习2,轴对称求最值模型,过点D作DEx轴于点E,则BE=32,DE=98.在RtBDE中,BD=2+D2=(32)2+(98)2=158.故在y轴上存在一点S,使得SD-SB的值最大,最大值为158,此时点S的坐标为(0,-34).,随堂练习2,轴对称求最值模型,如图,菱形ABCD的边长为2,DAB=60,点E为BC的中点,点P是对角线AC上的动点,则PBE周长的最小值为.,3+1,随堂练习3,轴对称求最值模型,如图,连接DE,交AC于点F,连接PD,易得PB=PD,PD+PEDE,当点P与点F重合时,PD+PE的值最小,且最小值为DE的长,易得DE=3,故PB+PE的最小值为3,易得BE=1,故PBE周长的最小值为3+1.,随堂练习3,轴对称求最值模型,如图,CD是O的直径,CD=4,ACD=20,点B为弧AD的中点,点P是直径CD上的一个动点,则PA+PB的最小值为.,2,随堂练习4,轴对称求最值模型,如图,作点A关于直线CD的对称点M,则点M在O上,连接MB交CD于点P,则此时PA+PB取最小值,为BM.连接OB,OM.ACD=20,点B为弧AD的中点,BOD=20,DOM=40,BOM=60.OB=OM,BOM是等边三角形,BM=OB=12CD=2,即PA+PB的最小值为2.,随堂练习4,折叠（应用圆）求最值模型,如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,点M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连接AC,则AC的最小值为.,71,随堂练习5,折叠（应用圆）求最值模型,易知