谢文娟说题初稿PPT课件

.,1,与TA的一次邂逅,初中数学谢文娟,.,2,CONTENTS,目录,.,3,题目：如图，设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF,由已知出发：1.由“正方形ABCD”，我们可以得出有关正方形的性质（边、角、对角线等有关性质）；2.“PFAP”得出APF=90；3.“正方形ABCD”“CF平分DCE”得出FCE=45，PCF=135；,由求证结论出发：要证明线段相等学生首先会想到证明三角形全等，显然原图中PA、PF所在的三角形没有全等图形，因此本题构造全等三角形是关键。,1.分析与解题,.,4,方法一：截长补短法，构造全等三角形,证明：在AB上截取BG=BP，连接PG在正方形ABCD中，AB=BC，B=DCB=APF=90BGP=BPG=45AGP=180BGP=135BG=BPABBG=BCBPAG=PC，CF平分DCEFCE=45PCF=180FCE=135AGP=PCF+APB=90+APB=90BAP=FPC，在AGP和PCF中AGPCAGPPCFAGPPCF（ASA）PA=PF,知识点：正方形的性质，三角形全等的判定与性质；知识点：领补角互补，同角的余角相等；,本题考查了逻辑思维能力，从结论出发的逆向思维，将有待于解决的问题转化为有明确解决程序的问题，即将证明线段相等转化为证三角形全等，使学生用联系的、发展的观点来认识问题解决问题，而本题的难点在于构造全等三角形。方法：做辅助线构造全等三角形,.,5,方法二：利用相似三角形的特殊性，即相似比为,证明：过点F作FHBE于点H，由题可知，在正方形ABCD中，AB=BCB=DCB=APFFHP=90CF平分DCEFCH=CFH45CHFH设正方形边长AB=BC=a，BP=b，CH=FH=c，PC=a-b，PH=a-b+c+APB=90，+APB=90=，在ABP与PHF中，B=FHP，=ABPPHF,a=b，或者c=b,由于相似比为1，ABPPHFPA=PF,又abc=b,知识点1：相似三角形的判定知识点2：相似三角形的特殊情况：相似比k=1知识点3：相似的基本图形“K”知识点4：分组分解因式,在方法二中，学生很容易想到作了辅助线可以证明出三角形相似，往往会忽略了题目要求证的结论带来的信息，在这个问题上，大多数学生往往会证明了相似再无从下手，由于这种求证结论带来相似三角形的特殊性，因此要联系到相似比为1，进而从边入手，而设而不求的方法会简便证明过程，这种方法对于中等偏下的孩子有一定的难度。方法：在相似三角形中去证明线段相等，可以去证明相似比等于1。,.,6,方法三：三角函数,证明：过点F作FHBE于点H，由题可知，在正方形ABCD中，AB=BC，B=DCB=APFFHP=90CF平分DCEFCH=CFH45CHFH设正方形边长AB=BC=a，BP=b，CH=FH=c，PC=a-b，PH=a-b+c+APB=90，+APB=90=，,a=b，或者c=b又abc=b从而证明ABPPHFPA=PF,知识点1：锐角三角函数-正切知识点2：三角形全等的判定知识点3：分组分解因式,在方法三中，我们可以发现两个直角三角形相似的判定方法“两角对应相等”，这种方法在某些时候可以转化为等角的同名三角函数相等，在直角三角形中无形也是一种思考方向。方法：在两个直角三角形中，有相等的锐角，可以试一试利用这两个角的同名三角函数值相等去解决问题。,.,7,方法四：利用等腰三角形,证明：连接AC、AF，设AF中点为O，在正方形ABCD中，BCD=DCE=90，又CF平分DCEACD=DCF=45APF=ACF=90在RtAPF与RtACF中，,A、P、C、F四点在以点O为圆心的圆上AFP=ACP=45（同弧所对的圆周角相等）PA=PF,知识点1：直角三角形斜边上的中线定理知识点2：圆周角定理的推论知识点3：四点共圆知识点4：等腰直角三角形的相关知识,方法：在这个问题中要注意“共斜边的直角三角形”，可以推出“四点共圆”，再利用圆的有关知识来解决问题。这种方法不易想到，但想到了可以使得证明简单，因此可以尝试让学生画出共斜边的两个直角三角形的情况，方便以后遇见此类问题，可以从图中寻找到这种方法。,.,8,方法四：利用图形的变换（轴对称、旋转）构造等腰三角形,证明思路：作PCF关于直线BC对称PCF1=2=CPF，F=F,CPF+F=45，即2+F=45而1+BAC=45所以1=F，在此还要证明ACF是一个平角180，才能说明点A、C、F在同一条直线上从而PA=PF，又由于PF=PF，所以PA=PF,方法：要结合正方形的性质，有效的利用图形的变换，换一种思路，可能会是下一题的简便方法。这种解法巧妙的利用了轴对称构造全等三角形和等腰三角形，对图形与变换的理解是支撑此解法产生的根源。,知识点1：图形的变换知识点2：三点共线知识点3：三角形全等与等腰三角形,.,9,ABP关于直线BC的对称图形,ABP绕点B顺时针旋转90,PCF绕点C逆时针旋转90,方法四：利用图形的变换（轴对称、旋转）构造等腰三角形,.,10,方法五：建立平面直角坐标系，将几何图形代数化,证明：以点B为原点，分别以BA、BC所在的直线为y轴、x轴建立平面直角坐标系，设AB=1，BP=b，则直线CF：y=x-1，斜率k1=1直线AP的斜率是k2=,APPFk1k2=-1k2=a,则有直线AP：y=ax-a2再联立直线方程求出P（a+1,a），所以AP=PF,（利用两点间的距离公式）,方法：建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题。有意识地主动建立坐标系，可以更巧妙、清楚地解决问题，在中考题中往往是把直角坐标系中放置一些几何图形，结合图形的变换来创立情景，而我们则要思考把图形的位置关系转化为数量关系来解决问题。,知识点1：两条直线的垂直斜率乘积等于-1知识点2：两点间的距离公式,.,11,方法六（方法五的延伸）：向量（高中）,证明：如图建立平面直角坐标系，设AB=1，P(a,0)直线CF：y=x-1，设F（x，x-1）则,x=a+1,PA=PF,.,12,从考查内容上看，本题涉及面广，主要以正方形为背景知识，考查全等三角形的性质与判定定理，以及等腰三角形，直角三角形等基础知识。从考查解题方法上看，本题主要考查全等三角形的应用，通过角与线段的迁移，寻找“桥梁”，链接已有条件与目标线段，从而解决问题。从考查思想方法上看，本题主要考查几何中的类比思想，转化思想。,2.思想与方法,.,13,3.来源与价值,这道题原题来自新人教版-八年数学下册第十八章复习题18第14题。特殊的平行四边形，全等三角形在中考中是热门考点，选择题，填空题，解答题中都会出现它的踪影，侧重考查学生对几何概念的理解，对几何图形特殊性质的判断与运用，考查学生的演绎推理能力与逻辑论证能力，常与直角三角形，等腰三角形，相似三角形，圆等知识点结合命题。一题多解，可激发学习兴趣，巩固、深化所学知识，能挖掘学生潜力，培养思维能力和自己获取知识的能力。让学生在在相互交流中集思广益和突破创新，开发学生的脑力资源，挖掘学生的潜在能力。最终让学生用自己的眼光观察数学问题，用自己的头脑思考、解决数学问题。,.,14,4.变式与延伸,变式：若把条件“点P是边BC的任一点”改为“点P是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论PA=PF是否成立呢？若成立请你完成证明过程，若不成立请你说明理由在这里，完全可以类比刚才所讲的题型，尝试去证明这个结论。,.,15,青海中考题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F。（1）求证AE=EF。（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请