2019 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

第 1 页（共 24 页） 2019 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科） （年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）月份） 一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）设复数 z 满足，则 z（ ） A B C D 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x2+3x0，则 AB（ ） A （0，2） B （1，0） C （3，2） D （1，3） 3 （5 分）等比数列an中，a11，a464，则数列an前 3 项和 S3（ ） A13 B13 C51 D51 4 （5 分）某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到 上学方式主要有：A 结伴步行，B 自行乘车，C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据 整理绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数 是（ ） A30 B40 C42 D48 5 （5 分）为了得到函数 ysin2x 的图象，可以将的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 6 （5 分）已知两个平面相互垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 2 页（共 24 页） 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知 a0 且 a1，函数在 R 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （1，+） B （0，1） C （1，2） D （1，2 8 （5 分）大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教， 若每个村小学至少分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A B C D 9 （5 分）过点 P（4，2）作一直线 AB 与双曲线 C：相交于 A，B 两点，若 P 为 AB 的中点，则|AB|（ ） A B C D 10 （5 分）已知是两个相互垂直的单位向量，且，则 （ ） A B C D 11 （5 分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员进行投 篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的 概率为若他第 1 球投进的概率为，则他第 2 球投进的概率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax+b 定义域为1，2，记|f（x）|的最大值为 M，则 M 的 最小值为（ ） A4 B3 C2 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则目标函数 zyx 的最小值 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 3 页（共 24 页） 为 14 （5 分）已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为 15 （5 分）已知数列an前 n 项和 Sn满足，a11，则 a4 16 （5 分）在四面体 PABC 中，若 PA3，PB4，PC5，底面ABC 是边长为的 正三角形，O 为ABC 的中心，则PAO 的余弦值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若， B2A， （）求 a； （）已知 M 在边 BC 上，且，求CMA 的面积 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD2， DAB60，PAPC2，且平面 ACP平面 ABCD （）求证：CBPD； （）求二面角 CPBA 的余弦值 19 （12 分） 已知椭圆：经过点 M （2， 1） ， 且右焦点 （）求椭圆的标准方程； （）过 N（1，0）的直线 AB 交椭圆于 A，B 两点，记，若 t 的最大值和最 小值分别为 t1，t2，求 t1+t2的值 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 4 页（共 24 页） 20 （12 分）已知函数，a 为常数）在（0，2）内有两个极 值点 x1，x2（x1x2） （）求实数 a 的取值范围； （）求证：x1+x22（1+lna） 21 （12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领 广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步， 农民收入也逐年增加 为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的 工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元） （同一组数据用 该组数据区间的中点值表示） ； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态 分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收人相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式，若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6827； P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973； 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 5 页（共 24 页） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C1：，C2： （）求曲线 C1，C2的直角坐标方程； （）曲线 C1和 C2的交点为 M，N，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+|x1| （）求不等式 f（x）3 的解集； （）若直线 yx+a 与 yf（x）的图象所围成的多边形面积为，求实数 a 的值 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 6 页（共 24 页） 2019 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷 （理科）（年湖北省武汉市高考数学模拟试卷 （理科）（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）设复数 z 满足，则 z（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由，得 1+2ziiz， z 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x2+3x0，则 AB（ ） A （0，2） B （1，0） C （3，2） D （1，3） 【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|1x2，Bx|3x0； AB（1，0） 故选：B 【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 3 （5 分）等比数列an中，a11，a464，则数列an前 3 项和 S3（ ） A13 B13 C51 D51 【分析】利用等比数列通项公式求出公比为4，由此利用等比数列前 n 项和公式能求出 前 3 项和 【解答】解：等比数列an中，a11，a464， 64，解得 q4， 数列an前 3 项和 S313 故选：B 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查等比数列的前 3 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 4 （5 分）某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到 上学方式主要有：A 结伴步行，B 自行乘车，C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据 整理绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数 是（ ） A30 B40 C42 D48 【分析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到 A 的人数 【解答】解：根据选择 D 方式的有 18 人，所占比例为 15%，得总人数为120 人， 故选择 A 方式的人数为 12042301830 人 故选：A 【点评】本题考查了条形图和饼图的识图能力，属于基础题 5 （5 分）为了得到函数 ysin2x 的图象，可以将的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【分析】由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象 变换规律，得出结论 【解答】解：将sin（2x+） 的图象向右平移个单位长度，可得 函数 ysin2x 的图象， 故选：A 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，统一 这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题 6 （5 分）已知两个平面相互垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对、 、四个选项逐一判断即可 【解答】解：对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于 另一个平面内的任意一条直线，故错误； 对于，设平面 平面 m，n，l， 平面 平面 ， 当 lm 时，必有 l，而 n， ln， 而在平面 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n 垂直，故一个平面内的已知直 线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确； 对于， 当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面， 故错误； 对于，若此点在交线上，那么作出来的线就不一定与另一平面垂直了，故错误； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直 线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题 7 （5 分）已知 a0 且 a1，函数在 R 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （1，+） B （0，1） C （1，2） D （1，2 【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：a0 且 a1，函数在 R 上单调递增， 可得：，解得 a（1，2 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查 8 （5 分）大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教， 若每个村小学至少分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数 m 12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率 【解答】解：大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进 行支教， 每个村小学至少分配 1 名大学生， 基本事件总数 n36， 小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数 m12， 小明恰好分配到甲村小学的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 9 （5 分）过点 P（4，2）作一直线 AB 与双曲线 C：相交于 A，B 两点，若 P 为 AB 的中点，则|AB|（ ） A B C D 【分析】设出直线 AB 的方程与双曲线方程联立消去 y，设两实根为 x1，x2，利用韦达定 理可表示出 x1+x2的值， 根据 P 点坐标求得 x1+x28 进而求得 k， 则直线 AB 的方程可得； 利用弦长公式求得|AB| 【解答】解：易知直线 AB 不与 y 轴平行，设其方程为 y2k（x4） 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 10 页（共 24 页） 代入双曲线 C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100 设此方程两实根为 x1，x2，则 x1+x2 又 P（4，2）为 AB 的中点， 所以8， 解得 k1 当 k1 时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0， 所求直线 AB 的方程为 y2x4 化成一般式为 xy20x1+x28，x1x210 |AB|x1x2|4 故选：D 【点评】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等考查了 学生综合分析和推理的能力 10 （5 分）已知是两个相互垂直的单位向量，且，则 （ ） A B C D 【分析】由向量垂直的条件：数量积为 0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量 积的定义，化简计算可得所求值 【解答】解：是两个相互垂直的单位向量，可得 0，| | |1， 由，可得 与 ， 的夹角 ， 的和或差为 90， 可得| |cos，| |cos1，由 cos2+cos21， 可得| |24， 则 2| |2+| |2+2 1+4+27， 即 故选：B 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及垂直的性质和向量的平方即为模的 平方，考查运算能力，属于基础题 11 （5 分）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员进行投 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 11 页（共 24 页） 篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的 概率为若他第 1 球投进的概率为，则他第 2 球投进的概率为（ ） A B C D 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第 2 球投进的概率 【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为， 若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第 1 球投进的概率为， 则他第 2 球投进的概率为： p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax+b 定义域为1，2，记|f（x）|的最大值为 M，则 M 的 最小值为（ ） A4 B3 C2 D 【分析】由题意可得|f（1）|，|f（1）|，|f（2）|都不大于 M，由绝对值不等式的性质， 计算可得所求 M 的最小值 【解答】解：函数 f（x）x3+ax+b 定义域为1，2，记|f（x）|的最大值为 M， 可得|f（1）|1a+b|M， |f（1）|1+a+b|M，|f（2）|8+2a+b|M， 可得 3MM+M+M|1a+b|+|1+a+b|+|8+2a+b| |a+bab+8+2a+b|6， 即为 M2， 可得 M 的最小值为 2 故选：C 【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力，属 于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 12 页（共 24 页） 13 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件， 则目标函数 zyx 的最小值为 1 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可 【解答】解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图： 目标函数 zyx 与直线 xy10 重合时，z 取得最小值； 由解得 C（5，6） ，由，解 A（1，0） ， 目标函数 zyx 经过为可行域的 A 时，取得最小值：1 故目标函数 zyx 的最小值是1， 故答案为：1 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力 14 （5 分）已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为 2x+y20 【分析】设直线 AB 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式可得 【解答】解：依题意可设直线 AB 的方程为：xty+1，代入 y22x 得 y22ty20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1y22，y1+y22t， kOA+kOB+2t，2t1，解得 t， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 13 页（共 24 页） 直线 AB 的方程为：x+1，即 2x+y20 故答案为：2x+y20 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题 15（5分） 已知数列an前n项和Sn满足， a11， 则a4 11 【分析】由已知数列递推式可得，得到（n2） ，结 合 a11 即可求得 a4的值 【解答】解：由，得： ， （n2） ， 由，a11，得 a21， ， 故答案为：11 【点评】本题考查数列递推式，考查数列中项的求法，是基础题 16 （5 分）在四面体 PABC 中，若 PA3，PB4，PC5，底面ABC 是边长为的 正三角形，O 为ABC 的中心，则PAO 的余弦值为 【分析】连接 AO 并延长交 BC 于 D，则PAOPAD，在PBD 中，解三角形得到 PBC，求出 PD，再用余弦定理求出PAO 的余弦值即可 【解答】解，如图，连接 AO 并延长交 BC 于 D，则PAOPAD， 因为 O 是正三角形 ABC 的中心，所以 D 是 BC 的中点 在PBD 中，cosPBC， PD AD23 所以 cosPAO 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 14 页（共 24 页） 故填： 【点评】本题考查了空间角的求法，属于基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若， B2A， （）求 a； （）已知 M 在边 BC 上，且，求CMA 的面积 【分析】 （）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值，利用二倍角的正弦 函数公式可求 sinB 的值，由正弦定理可得 a 的值 （） 利用二倍角的余弦函数公式可求 cosB， 利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值， 利用三角形的面积公式可求 SABC，由 CM：MB1：2，可求 SCMASABC的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （），A（0，） ， sinA， B2A， sinBsin2A2sinAcosA2， 由正弦定理，可得：a6 分 （）cosBcos2A2cos2A12（）21，sinCsin（A+B） sinAcosB+cosAsinB+， SABCabsinC， CM：MB1：2， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 15 页（共 24 页） SCMASABC12 分 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理， 二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综 合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD2， DAB60，PAPC2，且平面 ACP平面 ABCD （）求证：CBPD； （）求二面角 CPBA 的余弦值 【分析】 （I）证明 PO平面 ABCD 得出 POBC，利用勾股定理证明 BCBD，从而 BC 平面 PBD，于是 BCPD； （II）建立空间坐标系，求出平面 PAB 和平面 PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得 出二面角的大小 【解答】 （I）证明：连接 AC，BD，设交点为 O，连接 OP， 则 O 是 BD 的中点， PAPC，O 是 AC 的中点，POAC， 又平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCDAC， PO平面 ABCD，又 BC平面 ABCD， BCPO AB2AD2，DAB60， BD，AD2+BD2AB2， ADBD，又 BCAD， BCBD， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 16 页（共 24 页） 又 PO平面 PBD，BD平面 PBD，POBDO， BC平面 PBD，又 PD平面 PBD， BCPD （II）解：OA，PO 以 D 为原点，以 DA，DB，及平面 ABCD 过 D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系 D xyz， 则 A（1，0，0） ，B（0，0） ，P（0，） ，C（1，0） ， （1，0，0） ，（1，0） ，（0，） ， 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，则， ，取 z1 得 （0，1） ， 同理可得平面 PAB 的法向量为 （3，1） ， cos 由图形可知二面角 CPBA 为钝二面角， 二面角 CPBA 的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 17 页（共 24 页） 19 （12 分） 已知椭圆：经过点 M （2， 1） ， 且右焦点 （）求椭圆的标准方程； （）过 N（1，0）的直线 AB 交椭圆于 A，B 两点，记，若 t 的最大值和最 小值分别为 t1，t2，求 t1+t2的值 【分析】 （）列方程组求解出 a2，b2即可； （）对 k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立 t 的恒成立方程进行求解 【解答】解： （）由题意可知，解之得 a26，b23， 故椭圆的标准方程为 （）当直线 AB 斜率存在时，设 AB 的方程为 yk（x1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得 x2+2k2（x1）26，即（1+2k2）x24k2x+2k260， 因为（1，0）在椭圆内部，0， 所以， 则（y21） x1x2+2（x1+x2）+4+（kx1k1） （kx1k1） +k2+2k+5 +k2+2k+5， ， 所以（152t）k2+2k1t0kR， 则22+4（152t） （1+t）0， （2t15） （t+1）10，即 2t213t160， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 18 页（共 24 页） 又 t1，t2是 2t213t160 的两根， 当直线 AB 斜率不存在时，联立得 y， 不妨设， ， ， 可知 综上所述， 【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中 档题目 20 （12 分）已知函数，a 为常数）在（0，2）内有两个极 值点 x1，x2（x1x2） （）求实数 a 的取值范围； （）求证：x1+x22（1+lna） 【分析】 （）推导出 x0，f（x）a（lnx+），设 h （x）ex 1ax，x0，则 yh（x）在（0，2）上存在两个零点，由 h（x）ex1 a，由此能求出实数 a 的取值范围 （）令 H（x）h（x）h（2+2lnax） ，0x1+lna，则 H（x）h（x）+h （2+2lnax）0，从而 H（x）在（0，1+lna）上递增，进而 H（x） H（1+lna）0，由此能证明 x1+x22（1+lna） 【解答】解： （）函数，a 为常数） ， x0，f（x）a（lnx+）， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 19 页（共 24 页） 设 h（x）ex 1ax，x0， 由题意知 yh（x）在（0，2）上存在两个零点， h（x）ex 1a， 当 a0 时，h（x）0，则 h（x）在（0，2）上递增，h（x）至多有一个零点，不 合题意 当 a0 时，由 h（x）0，得 x1+lna （i）若 1+lna2 且 h（2）0，即 1a时，h（x）在（0，1+lna）上递减，在（1+lna， 2）上递增， 则 h（x）minh（1+lna）alna0，且 h（2）0，h（0）， h（x）在（0，1+lna）和（1+lna，2）上各有一个零点， h（x）在（0，2）上存在两个零点 （ii）若 1+lna2，即 ae 时，h（x）在（0，2）上递减，h（x）至多一个零点，舍去 （iii）若 1+lna2，且 h（2）0，即时，此时 h（x）在（0，1+lna）上有一 个零点， 而在（1+lna，2）上没有零点，舍去 综上，1即实数 a 的取值范围是（1，） 证明： （）令 H（x）h（x）h（2+2lnax） ，0x1+lna， 则 H（x）h（x）+h（2+2lnax） ex 1a+e2+2lnax1a 2a2a0， H（x）在（0，1+lna）上递增，从而 H（x）H（1+lna）0， h（x）h（2+2lnax）0， h（x1）h（x+2lnax1）0， h（x1）h（x2） ，且 h（x）在（1+lna，2）递增， h（x2）h（2+2lnax1）0，x22+2lnax1， x1+x22（1+lna） 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数单 调性、最值等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查转化思想和分类讨论思想，属 于难题 21 （12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领 广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步， 农民收入也逐年增加 为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的 工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元） （同一组数据用 该组数据区间的中点值表示） ； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态 分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收人相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式，若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6827； P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973； 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 21 页（共 24 页） 【分析】 （1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案； （2）由题意，XN（17.40，6.92） ， （i）由已知数据求得 P（x） ，进一步求得 得答案； （）求出 P（X12.14） ，得每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 设 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 B（103，p） ，求出恰好有 k 个 农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率，由1，得 k 1001p，结合 1001p978.233，对 k 分类分析得答案 【解答】解：（1） 17.40； （2）由题意，XN（17.40，6.92） （i）P（x）， 17.402.6314.77 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元； （）由 P（X12.14）P（X2）0.5+， 得每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 B（103，p） ，其中 p0.9773 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 P（k）， 最新课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 第 22 页（共 24 页） 从而由1，得 k1001p， 而 1001p978.233， 当 0k978 时，P（k1）P（k） ， 当 979k1000 时，P（k1）P（k） 由此可知，在走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及其意义，考查二项分布及其概率的求法，正确 理解题意是关键，是中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方