高阶导数与高阶偏导数

湘潭大学数学与计算科学学院,1,1.3高阶导数与高阶偏导数,一、高阶偏导数的定义,二、求高阶导数与高阶偏导数,三、高阶微分,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,回顾：高阶导数的定义,定义,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,湘潭大学数学与计算科学学院,3,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,湘潭大学数学与计算科学学院,4,由于函数,展开后的最高次幂项为,所以,例1已知函数,解,湘潭大学数学与计算科学学院,5,纯偏导,混合偏导,定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,一、高阶偏导数的定义,湘潭大学数学与计算科学学院,6,解,湘潭大学数学与计算科学学院,7,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,湘潭大学数学与计算科学学院,8,解,问题：,混合偏导数都相等吗？,湘潭大学数学与计算科学学院,9,解,例4,湘潭大学数学与计算科学学院,10,按定义可知：,湘潭大学数学与计算科学学院,11,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,解,湘潭大学数学与计算科学学院,12,因此,所以,湘潭大学数学与计算科学学院,13,例6,解,1.直接法:,根据定义逐步求高阶(偏)导数.,二、求高阶导数与高阶偏导数,湘潭大学数学与计算科学学院,14,莱布尼兹公式,2.高阶导数的运算法则:,湘潭大学数学与计算科学学院,15,解,例7,湘潭大学数学与计算科学学院,16,解,例8,湘潭大学数学与计算科学学院,17,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式,通过四则,运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,3.间接法:,湘潭大学数学与计算科学学院,18,解,例9,湘潭大学数学与计算科学学院,19,解,例10,湘潭大学数学与计算科学学院,20,已知函数y=f(x)，则它的微分为,三、高阶微分,亦可称为一阶微分；,类似地，二阶微分定义为,记作,湘潭大学数学与计算科学学院,21,一般的，已知函数y=f(x)，则它的n-1阶微分为,则n阶微分定义为,记作,由此可得,湘潭大学数学与计算科学学院,22,注(1),(2)求n阶微分实质上就是求n阶导数.,解,湘潭大学数学与计算科学学院,23,(3)求高阶微分时：若x是自变量，则由于dx是不依赖于x的任意的数，故关于x微分时，必须视dx为常数因子.若x不是自变量，而是某一变量的函数，如,湘潭大学数学与计算科学学院,24,而x是自变量时，有,结论：高阶微分不具有形式不变性.,湘潭大学数学与计算科学学院,25,再求二阶微分,可得,由此可见，上述两种结果并不相等.,湘潭大学数学与计算科学学院,26,一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜.,解,故,湘潭大学数学与计算科学学院,27,注上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，,也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得,湘潭大学数学与计算科学学院,28,1、高阶偏导数的定义;,2、高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,3、n阶导数的求法;,(1)直接法;,(2)间接法.,4、高阶微分不具有形式不变性.,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,29,思考题：,证明函数,满足拉普拉斯方程,证,湘潭大学数