上海海事大学概率论与数理统计期末复习VIP

第一章概率论的基本概念,1.1随机事件及其运算,1)可在相同的条件下重复2)每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能的结果3)进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现这样的试验称为随机试验。,在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机现象。,样本空间随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为S。,样本空间的元素，称为样本点，常记为，S=。,随机事件样本空间的子集,常记为A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合。(特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件),如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,基本事件,事件B=掷出奇数点,Ai=掷出i点i=1,2,3,4,5,6,样本空间S=1,2,3,4,5,6,随机事件发生组成随机事件的一个样本点出现。,必然事件全体样本点组成的事件,记为S，每次试验必定发生的事件。,不可能事件每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事件，记为。,例1随机试验及相应的样本空间,E1:投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,有限样本空间,E2:观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,E3:观察某灯泡的寿命,事件的关系和运算,Venn图,A,S,随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算,1.事件的包含,A包含于B,事件A发生必导致事件B发生,2.事件的相等,3.事件的并(和),A与B的和事件,事件A与事件B至少有一个发生,的和事件,的和事件,4.事件的交(积),事件A与事件B同时发生,A与B的积事件,的积事件,的积事件,5.事件的差,A与B的差事件,发生,事件A发生，但事件B不发生,B,6.事件的互斥(互不相容),A与B互不相容（互斥）,A、B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,A,B,7.事件的对立,A与B互相对立（互逆）,每次试验A、B中有且只有一个发生,称B为A的对立事件(or逆事件)，记为,注意：“A与B互相对立”与“A与B互不相容”是不同的概念,A,运算律,吸收律,重余律,幂等律,交换律,结合律,分配律,差化积,运算顺序：,对偶律,逆交并差，括号优先。,例2利用事件关系和运算表达多个事件的关系:,A,B,C都不发生,A,B,C不都发生,A发生，而B不发生,例3生产加工三个零件，分别用表示第i个零件为正品。用及事件的运算表示下列事件：（1）没有一个零件是次品，全是正品。(B1)（2）只有第一个是次品。(B2)（3）恰有一个是次品。(B3)（4）至少有一个是次品。(B4),解：,（1）,(2),(2),(3),(3),(4),频率的稳定性,实验者nnHfn(H)德.摩根（De.Morgan）204810610.5181蒲丰(Buffon）404020480.5069K.皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016K.皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005,观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬币”试验结果，有什么规律?,1.2.1确定概率的频率方法,1.2概率的定义及确定方法,这个事实表明，偶然现象背后隐藏着必然性。“频率稳定性”就是偶然性中隐藏的必然性。“频率稳定值”就是必然性的一种度量，反映了偶然现象发生可能性的大小。,概率的统计定义,为了研究事件A的概率，在相同的条件下，重复进行n次试验，若A出现（发生）了k次，则称为事件A的频率。,理论和试验都表明，当n充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：,1.2.2概率的公理化定义,非负性公理：对每一个A，有P(A)0规范性公理：P(S)=1可列可加性公理：若A1,A2,互不相容，有:,设E是随机试验，S是样本空间。如果对于E的每一事件A，赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果P(A)满足：,概率的性质,P()=0,有限可加性若A1,A2,An,是两两互不相容的事件，则有：,单调性设A,B是两个事件，若AB,则有：,推论：对任意事件A,B,有：,对于任一事件A0P(A)1,（逆事件的概率）对于任一事件A，有：,（加法公式）对于任意两事件A,B有：,对于任意n个事件A1,A2,An,有：,一般地，,请大家自己写出任意三个事件的加法公式。,公理化定义没有告诉我们如何去确定概率。,最早研究的概率模型,解:设A:得奇数.,例掷一枚骰子,求得奇数的概率.,显然,P(A)=3/6=1/2.,1.3等可能概型（古典概型）,1）随机试验或观察的所有可能结果为有限个，每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果；,其特征为：,2）每一个结果发生的可能性相同。,对古典概型,某随机事件A发生的概率:,古典概率计算举例,例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,I,S,C,N,C,E,的概率有多大？,E,解：七个字母的排列总数为7！,拼成英文单词SCIENCE的情况数为,故该结果出现的概率为：,例2某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率。,解：,问：,错在何处？,=0.3024,例3设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率。,解：令B=恰有k件次品,这是一种无放回抽样.,超几何分布,将m个球等可能地分到M个盒中，每一个盒子的容量不限。考察以下各种分法的概率：1）A：某指定的m个盒子中各有一球；2）B：恰有m个盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有k球(km),例4分球问题,解:所有可能的分法有：Mm种,A成立的分法有:,1）A：某指定的m个盒子中各有一球；,B成立的分法有种,2）B：恰有m个盒子中各有一球。,3）C:某指定的盒子中恰有k球(km),C成立的分法有种,某班有50位同学，他们中至少有2位在同一天过生日的概率是多少?,例5生日问题,一般地，有：,.411,.507,.706,.891,.997,.9999997,分组问题例630名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,30人,(1),(2),(3),一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,30人,(1),(2),(3),(2)解法一(“3名运动员集中在一个组”包括“3名运动员都在第一组”,“3名运动员都在第二组”,“3名运动员都在第三组”三种情况.),30人,(1),(2),(3),(2)解法二(“3名运动员集中在一个组”相当于“取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.),1.4条件概率,引例袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。设A:取到的球是白球。B:取到的球是木球。求：1)P(A);2)P(AB);3)在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。,解：,列表,3).所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为,定义：设A、B为两事件,P(B)0,则称为事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率。记为,一般地,我们有:,若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有上式。,条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：,可列可加性,规范性,非负性,条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0,2)从加入条件后改变了的情况去算。,P(A|B）=,例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解:设A=掷出点数之和不小于10B=第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,利用条件概率求积事件的概率,推广：,乘法公式,(1),已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为0.8,能用到1500小时的概率为0.4,求已用到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率。,解令A：灯泡能用到1000小时；B：灯泡能用到1500小时。,所求概率为,例3,一盒中装有5件产品，其中有3件正品，2件次品，从中不放回地取两次，每次1件，求：（1）都取得正品的概率（2）第二次取得正品的概率（3）第二次才取得正品的概率,解：令Ai为第i次取到正品i=1,2。,（1）,（2）,例4,(3)第二次才取得正品的概率,例5波里亚罐子模型,一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,解:设Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球，j=1,2,3,4,A=W1W2R3R4,利用乘法公式：,P(W1W2R3R4),=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),当c0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一传染病模型。每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率。,例6抽签问题,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,中签概率于抽签顺序是否有关,到底谁说的对呢？,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,则表示“第i个人未抽到入场券”,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,也就是说，,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,由于,由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5),继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后！,结论：,(3/4),(1/3),=1/5,全概率公式与Bayes公式,引例有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。,(1)解：记Bi=球取自i号箱,i=1,2,3;A=取得红球,B1A,B2A,B3A两两互斥,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,全概率公式,全概率公式的来由,“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。,它的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算。,(2)解：,引例有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。,AB1,Bayes公式,这类问题，是“已知结果求原因”是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,设B1,B2,Bn是两两互斥的事件，且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A，它总是与B1,B2,Bn之一同时发生，则,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能原因。,每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每批产品中有i件次品的概率为：,从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求：（1）一批产品通过检验的概率；（2）通过检验的产品中恰有i件次品的概率。,例,设Bi：一批产品中有i件次品i=0,1,4,A：一批产品通过检验,则,由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与,解：,结果如下表所示,1.00.90.8090.7270.652,0.1230.2210.3970.1790.080,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.05,某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,解:,设C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,已知P(C)=0.005,P()=0.995,求P(C|A).,例3,=0.0872,结果的意义：,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率为：P(C)=0.005,若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(CA)=0.0872将近增加约17倍,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(CA)=0.0872,即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌症，这种可能性只有8.72%(平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件A的原因。,称为后验概率，它是得到了信息A发生，再对导致A发生的原因Bi发生的可能性大小重新加以修正。,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。可见贝叶斯公式的影响。,例4用Bayes公式分析伊索寓言孩子与狼中村民对小孩的信赖程度是如何下降的。,解:,A：小孩说谎；,B：小孩可信；,小孩第一次说谎后的可信度为：,不妨设：P(B)=0.8；,小孩第二次说谎后的可信度为：,1.5独立性,引例在52张牌中，有放回地抽取两次，令：A=“第一次是”;B=“第二次是K”求：,解：,两个事件的独立性,定义：若事件A、B满足则称事件A、B相互独立，简称独立。,事件的独立性可根据实际经验判断。如：天气好坏与学习成绩，二人打枪各自的命中率。又：甲乙两人上课讲话（不独立），前后两次抽牌（无放回和有放回）。,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考,由此可见两事件互斥但不独立.,两人射击，甲射中概率0.9，乙射中概率0.8，各射一次，求目标被击中的概率。,A：“甲中”，B：“乙中”。“目标被击中”：,例1,解1：,解2：,定理一：设A,B是两事件，且P(A)0。若A,B相互独立，则。反之也然。,定理二：若事件A,B相互独立，则下面个事件对也相互独立。,多个事件的独立性,三个事件的独立性,定义：设A,B,C是三个事件，如果满足：,则称事件A,B,C相互独立。,一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C