阶常系数线性微分方程

第七节二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式,2、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,(1)特征方程有两个不相等的实根,两个线性无关的特解为:,得齐次方程的通解为,特征根为,(2)特征方程有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,(3)特征方程有一对共轭复根,特征根为,这时原方程有两个复数解:,可得,得齐次方程的通解为,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程:,(2)求出特征根:,(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,例4求解初值问题,解特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,特征方程为,推广：阶常系数齐次线性方程解法,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,例2,解特征方程：,特征根:,原方程通解:,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式,由线性微分方程的结构知:,非齐次线性微分方程的通解,=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,f(x)常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,1、f(x)=Pm(x)ex型,设方程特解为,其中Q(x)为待定多项式,代入原方程,得,从而得到特解形式为,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,即,即,综上可得：(Page291),可设特解形式为,不是特征方程的根,是特征方程的单根,是特征方程的二重根,注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,解,故对应齐次方程通解为,特征方程为,其特征根为,代入原方程,得,原方程通解为,例1,对应齐次方程为,解,故对应齐次方程通解为,特征方程为,其特征根为,代入原方程,得,原方程通解为,例2,对应齐次方程为,例3,解,特征方程为,特征根为,故对应齐次方程的通解为,对应齐次方程为,代入原方程,得,原方程通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,2、f(x)=exPl(x)cosx+Pn(x)sinx型,利用欧拉公式,求如下两方程的特解：,Page293,注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的根,可设非齐次方程特解为,例1,解,对应齐次方程为,例2,特征方程为,对应齐次方程通解为,特征根为,提示,对应齐次方程通解为,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,例3,例4,解,对应齐次方程的特征方程为,特征根为,对应齐次方程的通解为,设原方程的特解为,故原方程的通解为,例5,3、小结,二阶常系数非齐次微分方程特解形式：,(待定系数法),练习,写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,解,三、二阶常系数线性微分方程应用举例,1、建立微分方程的基本条件,1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.,2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.,2、建立微分方程及求解的注意点,如果问题要求“运动规律”、“变化规律”等，则需要用微分方程来解决问题.这时应根据问题的