概率论与数理统计浙大第四版答案_第二章

概率论与数理统计习题二参考答案 概率论与数理统计习题二参考答案 1、将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所得点数之和，以X2表示两次得到的点数 的最小者，试分别求X1和X2的分布律。 解：X1可取 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 36 1 6 1 6 1 ) 1 , 1 ()2( 1 =PXP 36 2 6 1 6 1 6 1 6 1 ) 1 , 22 , 1()3( 1 =+=PXP 36 3 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 ) 1 , 32 , 23 , 1()4( 1 =+=PXP 所以X1的分布律为 X12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pk1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X2可取的数有 1、2、3、4、5、6 P （X2=1） =P （） = 1 , 6 1 , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 26 , 1 5 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1 36 11 所以X2的分布律为 X21 2 3 4 5 6 Pk 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10 只产品中有 2 只是次品， 从中随机地抽取 3 只， 以X表示取出次品的只数， 求X的分布律。 解：X可取 0、1、2 3 10 3 8 0 C C XP= 15 7 = 15 7 1 3 10 2 8 1 2 = C CC XP 15 1 2 3 10 1 8 2 2 = C CC XP 3、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为) 10(= k k ckXP k 为常数， 试确定常数c 解： （1）1 11 = = a N a kXP N k N k ， 1=a （2）12 3 2 1 3 2 3 2 11 = = = = = b b bkXP k k k ， 2 1 =b （3）1 ! 00 = = = ec k ckXP k k k ， =ec 6、设随机变量X的分布律为5 , 4 , 3 , 2 , 1, 15 =k k kXP 其分布函数为，试求： )(xF （1） 2 5 2 1 XP， （2）21 XP， （3） 5 1 F 解： （1）21 2 5 2 1 =+= XPXPXP 5 1 15 2 15 1 =+= （2）21 XP21=+=XPXP 5 1 15 2 15 1 =+= （3） 5 1 F0 5 1 = =XP 7、 一大楼装有 5 个同类型的供水设备。 调查表明在任一时刻t每个设备被使用的 概率为，求在同一时刻 1 . 0 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有 1 个设备被使用的概率； （3） 至多有 3 个设备被使用的概率。 解：设X表示设备被使用的个数 则 ) 1 . 0 , 5( bX （1） () ()0729. 09 . 01 . 02 32 2 5 =CXP （2） 4095. 09 . 01011 5 =XPxp （3）=5413XPXPxp() ()()99954. 01 . 09 . 01 . 01 5 5 5 14 4 5 =CC 8、 甲、 乙两种味道的酒各 4 杯,颜色相同。 从中挑 4 杯便能将甲种酒全部挑出， 算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验 10 次,结果成功 3 次， 问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为: 70 11 4 8 = C (2)令试验 10 次中成功次数为X，则) 70 1 ,10( bX， 4733 10 1016. 3) 70 69 () 70 1 (3 =CXP显然3=X是一小概率事 根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为 3 的泊松分布。问在月初进货时要 进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为 0.999? 解：设 X 表示当月销售量，则要使 999. 0 ! 3 0 3 = = x k k k e 查表得001. 0999. 01000292. 0 ! 3 11 3 = 10 1 10 10 )92. 0()08. 0( nk kkk CnXP)8 . 0( ! 1 = + += nk k k e 查表 2, 31=+nn时 05. 00474. 02XP 时 1=n 05. 0551. 01=XP 所以至少要配备 2 个维修工人 12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间 内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间内有 3000 辆汽车，问出事故的次 数不小于 2 的概率为多少？ 解：设出事故的次数为 X，所求为3XP 3 . 00001. 03000= np 3XP=0036. 0 ! 3 . 0 3 3 . 0 = + = k k k e 所以出事故的次数不小于 2 的概率为 0.0036 (1)设 X 服从二项分布，其分布律为() kn kk n ppCkXP =1 K=0，1，2，n，问 K 取何值时kXP=最大？ （2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 ! k e kXp k =，k=0，1，2 问 K 取何值时最大？ kXP= （1） 解： = = = = 1kXP kXP M () () 1 11 1 1 + kn kk n kn kk n PPC pPC 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m () = + = kq Pkn1() kq kqPknkq+1 ()() kq kqpPn+ += 1 1 1,) 1(+Mpnk时 1,) 1(=+=Mpnk时，此时1=kXPkXP 1,) 1(Mpnk时 所以当 () + + = 为非整数），若（）（ 为整数若 pnpn pnpnpn k 11 ) 1(,) 1( , 11 （2）对于泊松分布)(P，由 kkP kP = ); 1( );( ,.3 , 2=k 可知 当 当=k时，PP=),(); 1( 故可得：泊松分布的通项);(kP当由 0 变到k 时，单调上升，并且在 =k时，达到最大值 );(P；当超过k继续变动时，);(kP单调下降，即 = 为非整数若 为整数若 , , 1, k15、写出泊松分布和二项分布的分布函数 16、设 连续型随机变量X的分布函数为 求 (1)常数 = 11 10 00 )( 2 x xAx x xF A (2)概率密度函数 (3)2/1XP； 。 20 XP 解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的 AAxxFF xx = 2 11 lim)(lim11）（ = 10 102 00 )( )( x xx x XFxf 4/12)(2/1 2/1 0 2/1 =FXPXP =+= 1 0 2 1 2 0 102)(20dxxdxdxxfXP或 101)0()2(20=FFXP 解法二： = 10 102 00 )( )( x xAx x XFxf 12)(1 1 0 = + AAAxdxdxxf由其它同解法一 17、已知随机变量 X 的概率密度为: = 其它0 212 10 )(xx xx xf 求 (1)分布函数 )(XF (2) 2 . 12 . 0,3 . 1,5 . 0=+ =+ = = 210)1 ( 2112/2)2 ( 10 00 1 0 2 12 1 2 1 0 0 2 2 xdxdxxxdx xxxdxxxdx xxdx x x x x x ( 2)解法一 8/1)5 . 0(5 . 0=1 2 3 . 1 3 . 121) 3 . 1 (13 . 1 2 FXP=0。245 66. 0)2 . 0()2 . 1 (2 . 12 . 0=FFXP :分别求积分 =C= 2 1 解：指数分布的密度函数为 = 0,0 0, )( x xe xf x = c dxxf)(1cXPcXP=1 = c dxxfdxxf 0 0 )()(1 = c xdx edx 0 0 01 2 1 = c e 2ln =c 19、某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下概率密度 = 其他, 0 1000, 1000 )( 2 x x xf 现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其 寿命大于 1500 小时的概率. 解；此相当于五重贝努利试验，用表示寿命大于 1500 小时的只数 x = 1500 )(1150011500dxxfXPxP = 1500 1000 1000 )()(1dxxfdxxf = 1500 1000 2 1000 1000 01dx x dx 3 2 = 则1012=XPXPXP 41 1 5 50 0 5 3 1 3 2 3 1 3 2 1 =CC= 243 232 20、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布, 其概率 密度为 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m = 其它0 0 5 1 )( 5/ xe xf x 某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他 受到服务的次数不少于 1 的概率. 分析: 顾客一个月到银行 5 次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服 务，所以相当于 5 重贝努利试验 等待 10 分钟受到服务的事件记为10= XA = 10 0 5/ 10 1 5 1 )(10)(dxedxxfXPAP x2 e 设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是1YP )1 , 5( 2 ebY998. 0)(1011 5)2( = eYPYP 21、设，求 )2 , 3( 2 NX (1).P23 (2)确定 c 使 Pxc=Pxc. 解： （1）=+ 3XP31XP5 . 05 . 01 2 33 1= = （2） cXPcXP=QcXPcXP=1 cXP=21 cXP= 2 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 即 2 1 2 3 = c 30 2 3 = c c 22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数=10.05,=0.06 的正态分布。 规定长度在 10.050.12 内为合格品。任取一螺栓，求其不合格的概率. 解：设螺栓的长度为X 所求概率为12. 005.1012. 005.101+ zzz zXPzXP 同理得查表得 即 25、28、31、盒子里装有 3 只黑球,2 只红球,2 只白球.在其中任取 4 只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数. (1)求X、Y的联合分布律 (2)求(X、Y)的边缘分布律 (3)X、Y是否相互独立 解： （1） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (3)35/182,35/122, 1=XPYXP，7/41 =YP 2=XP1=YP= 245 84 35 12 245 72 = 所以X与Y不相互独立. 26、设随机变量（X，Y）的概率密度为 =),(yxf 其他, 0 0, 0 43 yxke yx 求（1）常数； （2）P0x1,0y2;(3)分布函数。设随机变量（kX，Y）的概 率密度为 =),(yxf + 其他, 0 20 , 10, 3/ 2 yxxyx ，求 px+y1。设二维随机变量（X，Y） 的概率密度为 =),(yxf=，求边缘概率密度。 其他, 0 0yxe y 30、33、如右图，设二维随机变量(X、Y)的概率 密度为 = 其它0 , 10 2 3 ),( xyxxx yxf(1)求边缘概率密度 X 0 1 2 3 p 1/35 12/35 18/35 4/35 (2) X、Y是否相互独立. + =dyyxfxfX),()( 当10 x时 2 3 2 3 ),()(xxdydyyxfxf x x x x X = + + = 其它0 103 )( 2 xx xfX 同理 当 + =dxyxfyfY),()(11y时 )1 ( 4 3 2 3 )( 2 1 | yxdxyf y Y = = 其它0 10)1 ( 4 3 )( 2 xy yfY (2) = 其它 且 0 1110)1 ( 4 9 )()( 22 yxyx yfxf YX 显然 ),()()(YXfYfXf YX X与Y不是相互独立的. 32、设（X、Y）分布规律为 X Y 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 3 1/18 问、取何值时，X，Y 相互独立？ 解：先求边缘分布律即得： 9 2 =， 9 1 =时X与Y相互独立 34、设X、Y是相互独立的随机变量，且都服 从（0,1）上的均匀分布。试求方程有实根的概率. 分析: 有实根 0 2 =Y+ Xxx 0 2 =+YXxx04 22 YX 所以,所求为 这样,该题可看作二维随机变量 04 22 YXP (X、Y)的概率计算,先求(X、Y)的联合概率密度. 由已知 = = 其它其它0 101 )( 0 101 )( x xf y yf XY X与相 互 独 立 Y = 其它 且 0 10101 )()(),( yx yfxfyxf YX = G dxdyyxfYXP),(04 2 = 1 0 4/ 0 2 1 12 1 x G dydxdxdy 35、设是两个相互 独立的随机变量， YX、 X在（0，1）上的均匀分布，Y的概率密度为 =)(yfY 00 0 2 2/ y y ye (1)求的联合概率密度； YX和 （2）求关于的二次方程 2+2X +Y=0 有实根的概率。 解： （1）()1 , 0 UX 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 0,0,为常数。引入随机变量 Z= YX YX , 0 , 1 （1）条件概率密度 （2）求 Z 的分布规律。 解： （1）解法一 相互独立 YX、Q = 0,0 0, )()( x xe xfyxf x XYX 解法二 = 0,0 0, )( )( )()( )( ),( )( x xe xf yf yfxf yf yxf yxf x X Y YX Y YX 独立 （2）， YXPZP= 0YXPZP=1 () = + ,0 0, 0, ),( yxe yxf yx Q ()dy edxYXP yx x + + = 00 () + = + dxee xx 1 0 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 又 + =YXPYXP1 分布律为 Z 0 1 P + + 39、某类电子管的寿命X（以小时计）的概率密度为 =)(xf 1000 100 100 2 x x x 求一架无线电在最初使用的 150 个小时中， 所装的 3 个这样的电子管都不需要替换的概率是 多少 ？3 个管子全需替换的概率是多少？（设 3 个电子管的寿命相互独立） 解： 3 2100 150 150 2 = + dx x XP 三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于三重贝努利实验， 以表示使用 150 小时不需要换的电子管的个数 n 27 8 3 1 3 2 3 03 3 3 = =CnP 27 1 3 1 3 2 0 30 0 3 = =CnP 40、设随机变量X分布规律为 X 1 0 1 Pk0.3 0.4 0.3 求12 2 +=XY的分布律。 解： X 1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以 Y 的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 41、设随机变量X的分布规律为 X 2 1 0 1 3 Pk1/5 1/6 1/3 1/15 11/30 求Y=2X 2的分布律。 解:Y 的分布律为 Y 0 1 4 9 P 5 1 30 7 5 1 30 11 42 、 设，求(1) (2) 10，（X X eY=12 2 +=XY， （3）XY = 的概率密度. 解: (1)yYPyFY=)(yeP X = 当 时， 0y0)(=yFY 当时 0y)(yFY)(lnlnyFyxP= = 0 2 1 00 )(2/)(ln 2 ye y y yfy Y (2) yYPyFY=)(yXP+=12 2 = = 2 1 2 1 2 1 2 1y F y F y x y P XX 2 1 2 1 2 1 2 1yy f yy f XX yYPyFY=)(yxyP= ( )()yFyF XX = ( )()yfyf XX + = 0,0 0, 2 2 2 y ye y 43、设电流 I 是一个随机变量，均匀分布在 9A11A 之间，此电流通过 2电阻， 在其上消耗的功率。求W的概率密度 2 2IW= 解： = 其, 0 119 , 2 1 )( i if tIPtWPtFW= 2 2)(2/2/tItP= 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ( )0 2 II F t F =，由于电流大于0 0t ( )=tfW242162, 24 1 222 1 = t t t f t I 其他为0 ( )=tfW 其他, 0 0,xe x 求Y=X2的概率密度。 解：当时，0y=)(yFYyXyPyXPyYP= 2 )(yFY ()() 0 为常数，求X+Y的概率密度。 = 00 0 )( x xe xf x X = 00 0 )( y ye yf y Y = = + 00 )( )( 2 z ze ee zf z zz YX = z xz z xzx z dxeedxezf 0 )( 0 )( )( 解: (X,Y)的联合分布为 = 000 0, 0 ),( yx yxe yxf yx 或 + =dxxzxfzfz),()( Z=X+Y 的概率密度为 f(x,z-x)的非零区域为 积分得： YX、独立同分布，概率密度函数为 = 0, , 0 0, )( x xe xf x 0 0 xz x xz x0 或 求YX+及YX的概率密度。 48、相互独立，证明：若YX、)(),( 21 YX，则)( 21 +YX )( )( 2 Y P P Y Y= =j j = = 2 ! 2 e j j 1 ! 1 e k k X 1 P P X X= =k k = = 课后答案网 w