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定义,设f(xyz)是空间有界闭区域上有定义,将任意分割成n个互不重叠的小区域,在上任取一点作积分和,其中表示小区域的体积,若对区域的任意一种分割法,以及中间点的任意取法，积分和的极限,总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，,7-3三重积分的概念与计算,当极限存在时,称在区域上可积.,三重积分中的各部分的名称,积分号,积分区域,f(xyz)被积函数,f(xyz)dv被积表达式,dv体积元素,xyz积分变量,有界闭区域上的连续函数或分块连续函数在上是可积的.,若一物体占有空间位置，又其体密度为则该物体的质量为,1在直角坐标下的计算,（）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是曲面,及在上连续,其中,在上连续,穿入点的竖坐标：,穿出点的竖坐标：,先将x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z的函数，在上积分，其结果是x,y的函数，记为,然后计算F(x,y)在D上的二重积分,于是有,公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分或累次积分.,其中为三个坐标,补例计算三重积分,所围成的闭区域.,解,面及平面,例1求三重积分,解,D,（2）先二重积分后定积分的方法,一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设积分区域为(xyz)|(xy)Dzazb其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则,即所谓的“先二后一”法.,说明：,例2求三重积分,解,即,判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如z轴）的平面去截区域得截面面积是该坐标轴（如z轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变量（如z）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如z）的函数，则有,同理得:,同理得:,同理得:,例3求三重积分,解,于是,同理,故,空间点的柱面坐标,2在柱坐标下的计算公式,设M(xyz)为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P(r)则这样的三个数r、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、z的变化范围为0r02z,直角坐标与柱面坐标的关系,xrcosyrsinzz,圆柱面,半平面,平面,坐标面分别为,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,三重积分在柱面坐标下的计算公式是,(1)是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标区域为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为,则,例4求三重积分,解,例5求三重积分,解,3在球坐标下的计算公式,设P(xyz)为空间内一点P到原点的距离计作，向径与Z轴正向的夹角计作(),P在Oxy平面上的投影点的极角计作(),则数组()与点P有一一对应关系，称()为点P的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,例7求三重积分,解,例8求三重积分,解,4.在一般变量变换下的计算公式,定理3,设函数在有界闭区域上连续,又设变换,在上连续,有连续的偏导数,将一一对应地变到,且变换的雅可比行列式,则,球坐标变换,的雅可比行列式,柱面坐标变换,
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