河南省郑州第一中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）VIP

2020届河南省郑州第一中学高三（上）期中数学试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合A=x|0x3，集合B=x|x0)的焦点的弦长最小值为4，则p的值为A1 B2 C4 D85定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x0时f(x)=2-2x,x1-x2+1,0x0,0)的部分图象如图所示，图中的点M，N，P在同一条直线上，则y=f(x)的一条对称轴为Ax=-12Bx=-6Cx=12Dx=768设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A若，m，则m/ B若m/，n/，则m/nC若m/，mn，则n D若=m，n/，n/，则m/n9某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A32 B23 C12 D1310双曲线C的中心在坐标原点O，右顶点A2，虚轴的上端点B2，虚轴下端点B1，左右焦点分别为F1、F2，直线B1F2与直线A2B2交于P点，若B2PF2为锐角，则双曲线C的离心率的取值范围为A(-1+52,+) B(1,1+52) C(1+52,+) D(3+52,+)11如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，a3，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是A12 B8 C9 D1112已知函数f(x)=2lnx(e-1xe2)，g(x)=kx+1，若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数k的取值范围是A-e-1,2e-1 B-3e-2,3e-1 C-2e-32,3e D-e-2,3e-1二、填空题13已知函数f(x)=1ga+x1-x，是奇函数，则数a的值为_14在可行域x-y-10x+y3x0，内任取一点M(x,y)，则满足2x-y0的概率是_15若a=-12x2dx，在(x+ax)6的展开式中x3的系数为_三、解答题16已知an是等比数列，bn满足b1=2，b2=8，且a1b1+a2b2+anbn=(2n-1)3n-1(1)求数列an的通项公式及其前n项和Sn的表达式；(2)求数列bn的通项公式17如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC和AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C平面ABC.（1）证明：A1O平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.18为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分吋租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：时间t(分钟)(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70频数41618102将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70分钟(1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X的分布列和期望；(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表)19已知椭圆C：x2a2+y2b2=l(ab0)过点(3,32)，且两个焦点的坐标分别为(-1,0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B，M为椭圆C上的三个不同的点，O为坐标原点，且OM=OA+OB，求四边形OAMB的面积20已知函数fx=lnx，gx=xex-x-1.（1）若关于x的方程fx=x2-73x+m在区间1，3上有解，求实数m的取值范围；（2）若gx-afx对x0，+恒成立，求实数a的取值范围.21在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+22ty=-1+22t(t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=22acos(+4)，(a56).(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；、(2)已知点P(2,-1)，直线写曲线C相交于M，N两点，若|MN|2=5|PM|PN|，求实数a的值22已知函数f(x)=|x-2a+1|+|x+2|，g(x)=3x+1(1)当a=0时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)当x-1,a)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围2020届河南省郑州第一中学高三（上）期中数学试题数学 答 案参考答案1A【解析】【分析】利用并集定义直接求解即可.【详解】集合A=x|0x3，集合B=x|x1，AB=x|x0)的焦点的弦长最小值为4，可知弦长的最小值是经过抛物线的焦点坐标与抛物线的对称轴垂直的弦长，即2p=4，解得p=2故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。5B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算f(2)的值，又由f(-2)=f(2)，即可得答案【详解】根据题意，当x0时f(x)=2-2x,x1-x2+1,0x0,0)的部分图象，图中的点M，N，P在同一条直线上，可得M、P关于点N对称，N的横坐标为0+32=6，y=f(x)的一条对称轴为x=-3+62=-12，故选：A【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，关键是看出来M、P关于点N对称，属于基础题确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则AM-m2，bM+m2；(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得2；(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x32.8D【解析】【分析】在A中，m/或m；在B中，m与n的位置关系不确定；在C中，n与的位置关系不确定；在D中，利用线面平行的判定，性质判定【详解】在A中，若，m，则m/或m，故A错误；在B中，若m/，n/，则m与n的位置关系不确定，故B错误；在C中，若m/，mn，则n与的位置关系不确定，故C错误；在D中，过n作平面=a，过n作平面=b，n/，n，=a，n/a，同理：n/b，a/b，又a，b，a/，又a，=m，a/m，又b/m，m/n，故D正确；故选：D【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。9C【解析】【分析】在长方体中，可得四棱锥S-ABCD，其高为1，由四棱锥的体积公式，可得所求答案【详解】由题意，几何体的直观图如图，是长方体的一部分，如右图所示，S-ABCD，底面是梯形，上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1S四边形ABCD=1+221=32，几何体的体积为：13321=12故选：C【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10B【解析】【分析】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，求出点P的坐标，再根据APF是钝角，则PAPF0，得到b2ac，继而得到e2-e-10，解得即可【详解】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，由题意可得A2(a,0)，F2(c,0)，B2(0,b)，B1(0,-b)，故直线B1F2的方程为y+b=bcx，直线A2B2的方程为y-b=-bax，联立方程组，解得x=2aca+c，y=b(a-c)a+c，即P(2aca+c,b(a-c)a+c)，PF2=(c(c-a)c+a,b(c-a)c+a)，PB2=(-2aca+c,2bca+c)，APF是钝角，PF2PB20，c(c-a)c+a-2acc+a+b(c-a)c+a2bca+c0，b2ac，c2-a2ac即e2-e-10，1-52e1，1e0的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为4-1213=52，由几何概型的公式可得2x-y0的概率为：524=58；【详解】约束条件x-y-10x+y3x0的可行域如图：由x+y=3x-y-1=0解得A(2,1)，可行域d面积为1224=4，由y=2xx+y=3，解得B(1.2)满足2x-y0的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为4-1213=52，由几何概型的公式可得2x-y0的概率为：524=58；故答案为：58【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的15135【解析】【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式计算展开式中x3的系数【详解】a=-12x2dx=13x3|-12=83+13=3，(x+ax)6=(x+3x)6，其展开式的通项公式为：Tr+1=C6rx6-r(3x)r=C6r3rx6-3r2，令6-3r2=3，解得r=2，展开式中x3的系数为C6232=135故答案为：135【点睛】本题考查了定积分与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.16（1）an=3n-1，Sn=3n-12（2）bn=2(n=1)4n(n2).【解析】【分析】(1)直接利用题意，建立方程组a1b1=2a1b1+a2b2=26，进一步求出数列的通项公式;(2)利用递推关系式求出数列的通项公式【详解】(1)an是等比数列，且a1b1+a2b2+anbn=(2n-1)3n-1则：a1b1=2a1b1+a2b2=26，所以：a2b2=24，由于：bn满足b1=2，b2=8，故：a1=1，a2=3所以：数列an是以1为首项，3为公比的等比数列则：an=3n-1所以：Sn=3n-13-1=3n-12(2)由于：an=3n-1且a1b1+a2b2+anbn=(2n-1)3n-1所以：b1+3b2+3n-1bn=(2n-1)3n-1，当n2时，b1+3b2+3n-2bn-1=(2n-3)3n-1-1-得：3n-1bn=4n3n-1，故：bn=4n，当n=1时，b1=2首项不符合通项，故：bn=2(n=1)4n(n2)【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用递推关系式法求出数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17（1）见解析（2）64【解析】分析：(1)先根据等腰三角形性质得A1OAC，再根据面面垂直性质定理即得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面A1BC1的法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.详解：（）证明：AA1=A1C，且O为AC的中点，A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，且交线为AC，又A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC（）如图，以O为原点，OB,OC,OA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由已知可得O(0,0,0),A(0,-1,0)，B(3,0,0),A1(0,0,3), C1(0,2,3)，AB=(3,1,0)，A1B=(3,0,-3)，A1C1=(0,2,0)， 设平面A1BC1的法向量为n= (x,y,z)，则有2y=03x-3z=0，所以n的一组解为n= (1,0,1)设直线AB与平面A1BC1所成角为，则sin=cosAB,n又cosAB, n=ABnABn=322=64， 所以AB与平面A1BC1所成角的正弦值为64点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)计算租用一次新能源汽车为“路段畅通”的频率，并视频率为概率，知X的可能取值，且X服从二项分布，计算对应的频率值，写出X的分布列，求出数学期望值；(2)计算租用一次新能源汽车上下班平均用车时间和费用，求出一个月的总费用，比较即可【详解】(1)孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的频率为4+1650=25，视频率为概率，孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的概率为25，则X的可能取值为0，1，2，3，4；且X服从二项分布B(4,25)，所以P(X=0)=C40(35)4=81625；P(X=1)=C4125(35)3=216625；P(X=2)=C42(25)2(25)2=216625；P(X=3)=C43(25)335=96625；P(X=4)=C44(25)4=16625；X的分布列为：X01234P816252166252166259662516625数学期望为E(X)=np=425=85；(2)孙先生租用一次新能源汽车上下班，平均用车时间为t，则t=25450+351650+451850+551050+65250=43(分钟)，每次上下班租车的费用约为430.5=21.5(元)，一个月上下班租车的总费用约为21.5222=946(元)，因为9460，可得4k2+3-m20，由OM=OA+OB，可得四边形OAMB为平行四边形，y3=y1+y2x3=x1+x2x3=-8km3+4k2，y3=k(x1+x2)+2m=4m2-123+4k2M为椭圆C上的点，14(-8km3+4k2)2+13(6m3+4k2)2=1.3+4k2=4m2|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=31+k2|m|又原点到直线AB的距离d=|m|1+k2，SOAMB=2SOAB=d|AB|=|m|1+k231+k2|m|=3综上四边形OAMB的面积为3【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20(1) m的取值范围是ln3-2，ln32+54;(2)实数a的取值范围是(-，0.【解析】试题分析：（1）即求函数m=lnx-x2+73x在区间1，3上值域，先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号变化规律，确定单调性，进而根据单调性求值域，（2）先参变分离，转化为求对应函数最值：ag(x)-f(x)的最小值，利用二次求导可得函数F(x)=g(x)-f(x)单调性，再根据单调性确定其最小值取法，最后根据最小值得实数a的取值范围.试题解析：（1）方程fx=x2-73x+m即为lnx-x2+73x=m. 令h(x)=lnx-x2+73xx0，则h(x)=1x-2x+73=-3x+12x-33x. 令h(x)=0，则x1=-13（舍），x2=32. 当x1， 3时，h(x)随x变化情况如表: x1(1，32)32(32，3)3h(x)0h(x)43极大值ln32+54ln3-2当x1，3时，h(x)ln3-2，ln32+54. m的取值范围是ln3-2，ln32+54. （2）据题意，得g(x)-f(x)a对x(0，+)恒成立.令F(x)=g(x)-f(x)=xex-lnx-x-1(x0)，则F(x)=(x+1)ex-1x-1=(x+1)x(xex-1). 令G(x)=xex-1，则当x0时，G(x)=(x+1)ex0， 函数G(x)在(0，+)上递增. G(0)=-10，G(x)存在唯一的零点c（0，1），且当x（0，c）时，G(x)0. 当x（0，c）时，F(x)0. F(x)在（0，c）上递减，在(c，+)上递增，从而F(x)cec-lnc-c-1. 由G(c)=0得cec-1=0，即cec=1，两边取对数得lnc+c=0，F(c)=0. a0，即所求实数a的取值范围是(-，0. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21（1）x-y-3=0,x2+y2-2ax+2ay=0；（2）a=76.【解析】【分析】(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【详解】(1)直线l的参数方程为x=2+22ty=-1+22t(t为参数)，转换为直角坐标方程