高中数学 不等式第一课时学案 苏教版必修5

专题四 不等式第一课时 不等式的解法及其应用课前预习案【考纲目标指导】内容教学要求A（了解）B（理解）C（掌握）一元二次不等式线性规划【应试指导】【考情分析】不等式仍将是高考数学的重点内容之一，但单独考查不等式内容的试题不会出现，更多的是以不等式为工具解决较复杂的综合问题；求最值、求参数的取值范围以及比较大小问题仍是高考数学稳定的热点；特别是利用函数的单调性解不等式（包括抽象函数的不等式、恒成立的不等式）值得注意.具体如下：1.以解一元二次不等式为主的解不等式常以填空题的形式出现，多与集合一起考查，以容易题为主，出现在试卷的客观题部分2.线性规划问题是高考的热点之一，在某些地区近几年高考中，线性规划问题出现了参数，需要进行讨论，这给出了一个信号，线性规划的研究将会更深入，相对难度也可能加大而在2020年江苏高考中则回归本源在如何从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题中下功夫.【备考策略】1.回归本源真正理解一元二次不等式及线性规划的本源与实质.理解一元二次不等式与对应函数与方程的联系，并通过构建不等式模型分析解决问题;经历线性规划问题转化及求解的过程，体验并理解借助几何直观加以求解的数形结合思想 2.体验算法思想，明确以上问题的解题步骤.解一元二次不等式及求解线性规划问题算法明确、步骤清晰，明确其算法过程，更能有效对一些复杂含参不等式求解问题进行准确讨论，对一些含参的不等式恒成立问题要能等价转化为最值或极值问题求解.【回归教材】1( 必修5 第1题（4）改编)不等式的解集为 . 答案：【解析】解不等式可得或，解可得，解可得且，即，所以不等式的解为或.2.( 必修5 第2题改编)设，则的元素个数为 . 答案：10【解析】不等式可化为可解得：即，故元素个数为10.3（必修5 第6题改编）已知的解集为，则不等式的解集 . 答案：【解析】的解集为，,是方程的两实数根. 由根与系数的关系得,.不等式可化为,即,不等式的解集为. 4. （必修5 第4题改编）若实数满足，则的最小值为 . 答案：.【解析】画出图象可知最小值为原点到直线的距离为.5. （必修5 第5题（2）改编）已知不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是 .答案：【解析】由可得设当可求得，原问题成立的充要条件为，所以或.思考（核心问题）1.一元二次不等式与对应函数与方程的联系是什么？2.如何由目标函数的几何意义数形结合探求其最值？3.一些含参的不等式恒成立问题一般是如何转化求解的？质疑(我的问题)1.2(二)课堂导学案 【分类解析】目标1运用图象求解抽象不等式O1例1 （2020年江苏卷第11题）已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是【解析】:先画出函数的图象,如右图, 由, 即,求得, (1).当时, 则有, 结合图象得:在上为单调增函数,所以有成立; (2).当时,有,结合图象得:, 而,此时, 所以有成立. 综上所述, 满足不等式的的范围是 【点拨归纳】对于如上与非基本初等函数有关的不等式求解问题一般可作出函数图象数形结合求解.实际上对于没有给出具体表达式的抽象不等式的解集问题也可以类似求解.如果能从图象中观察到函数f(x)总体“非严格单调递增”也可如下运用简缩化思维求解：满足，解得.在填空题中从问题本源出发适度运用简缩化思维立足于问题本题本质求解是高考高效答题的需要.【变式延伸】（2020届连云港市高三二模试题）函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式 0的解集为 【答案】（，1）（1，）目标2运用类线性规化思想解题例2（2020年江苏第12题）设实数x,y满足38，49，则的最大值是 【解析】 因为3xy28，49，所以x0，y0.所以lg3lgx2lgy3lg2，lg42lgxlgy2lg3因为lg3lgx4lgy，所以，设lgxX，lgyY，t3X4Y，画出可行域，求得Xlg3，Y0，即时，tmax3lg3，即的最大值是27【精要点评】以上解法通过两边取对数把大家不熟悉问题转化成线性规化问题求解，体现了对数在化大数运算为小数、化乘除等高级运算为低级加减运算上的重要作用.本题也可以运用待定系数法如下求解：设(xy2)m()nxm2ny2mn对任意实数都成立由解得因为3xy28，49，所以(xy2)1，16()281.所以227，当且仅当时成立.即时，27，所以的最大值是27 运用待定系数法求解不易想到，需要有较高的数学素养.【变式延伸】（泰州市2020届高三联考试题）点在两直线和之间的带状区域内（含边界），则的最小值为_【解析】由，又点在两直线和之间的带状区域内（含边界）得，根据二次函数知的最小值为5 目标3运用等价转化求解不等式恒成立问题例3 （2020届宿迁市高三模拟试卷三第20题） 已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）当方程恰有两个实数根时，求的值；（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由得.当时，恒成立，成立.当时，由得或.又，.所以不等式的解集为.（2）由得. 令，如左图可知由函数图象知当函数y=x-a图象在x轴上方（含x轴）与函数只有一个交点时可能满足题意.故，即.由得.经检验可知，-6时方程恰有两个实数根.（3）即解不等式，当时， 所以.当时 当时，即.令，由函数在（0，2）上单调递减， 时，所以. 时，所以，. 所以. 当时，即，由函数在上单调递增知， 所以，.综上，的取值范围是.【精要点评】本题三问集中体现了高考在不等式方向的三个考查方式，（1）是考查不等式的解法；（2）是考查数形结合思想；（3）是含参不等式恒成立问题.对于此类问题，常分离参数后，得到一侧仅含参数，另一值是一个最值（极值）较好求的函数的形式.然后求出不等号一侧的最值来求解【变式延伸1】(2020年高考天津卷理科)设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 【解析】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或【变式延伸2】（2020年重庆卷）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 .【解析】因为对任意x恒成立，所以.【案例研究】【例4】（2020年江苏）设为实数，函数 (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集解析：（1）若，则；（2）当时，当时，综上；（3）时，得，当时，；当时，0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为【精要点评】本题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力在处理分段函数的最值问题时应采取“分段函数分段处理”的策略，即首先在每一段上分别求出其最值，然后进行综合处理；对于分类讨论的问题其关键是选择好分类的标准(三)课后达标案 1(通州市2020年3月高三素质检测)若不等式2x23x+a0的解集为( m,1)，则实数m的值为_.【答案】2 (2020年高考数学湖北卷理科）己知，式中变量满足约束条件则的最大值为 .【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，当直线经过A（2，1）时，z取到最大值，.3（2020年高考陕西卷理科14）铁矿石和的含铁率,冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如下表：(万吨)（百万元）50%1370%056某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元).【答案】15【解析】设铁矿石购买了万吨，铁矿石购买了万吨，购买铁矿石的费用为百万元，则由题设知，本题即求实数满足约束条件，即（*）时，的最小值.作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线，即平移，当直线经过点时，取得最小值.又解方程组得点坐标为,故.4.（2020北京高考题）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图象上存在区域D上的点，则a 的取值范围是_.【答案】(1,35.（连云港市2020届高三二模试题）已知不等式对于,恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】 6（2020年高考福建卷理科）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B