高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1.1 实数可以比较大小 比较实数大小的技巧素材 湘教版选修4-5（通用）_第1页
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1.1 实数可以比较大小任意两个实数之间，都存在着“顺序”关系，所以可以比较它们的大小。实数的大小比较是实数内容中常见的题型之一。要想解题时得心应手，就应掌握比较大小的若干技巧。实数的大小比较，一般采用以下几种方法。一、比较被开方数法一般地，当a0，b0时，如果ab，那么。也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。反之也成立。例1、比较大小：（1）；（2）。解析：若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。（1）因为，且，所以，因此，。（2）因为，且，所以，所以。因此，。二、添加根号法若a0，则。在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。例2、比较的大小。解析：因为，又因为，于是，即。三、乘方法（平方法或立方法）如果a0，b0，若，那么ab；若 ，那么ab。例3、比较大小：（1）；（2）。解析：（1）因为，而12b；当时，得到ab；当时，得到a=b。例5、比较的大小。解析：因为，所以。六、作商法作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。当时，ab；当时，a=b。例6、比较的大小。解析：因为，所以。七、放缩法（中间值法）如果ac，cb，那么ab。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。例7、比较的大小。解析：因为，所以。所以，即。八、不等式性质法例8、比较大小：。解析：因为，所以，因此。九、特殊值法在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。例9、已知xy0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（ ）。A、MQPN B、MPQN C、QNPM D、NQPM解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。不难得到：NQPM。因此，应选D。十、数轴比较法数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。例10、已知a、b是实数，且。试比较a，b，a，b的大小关系。解析：因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。又因为a与与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。所以的大小关系是。十一、法则比较法正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。例11、已知a、b是实数，且a0b，c0，试比较的大小。解析：因为a0，则ab0，所以，为正数。所以。十二、根式定义法该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。例12、比较的大小。解析：根据平方根的定义可知。所以，故。而。十三、倒数法倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数、，再根据当时，abc B、acb C、cba D、bca解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先，。因为，所以，则bc。又因为，所以，则ab。由此可得：abc。故选A。十四、分子有
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