高中数学 第三章 指数函数和对数函数 第2节 指数扩充及其运算性质（第1课时）基础知识素材 北师大版必修1（通用）VIP

21 指数概念的扩充1了解整数指数幂的概念2理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化3了解无理数指数幂和实数指数幂的概念1整数指数幂an(nN)，a0_(a0)，an_(a0，nN)【做一做11】 0等于( ) A0 B C1 D2【做一做12】 4_.2分数指数幂(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在_的正实数b，使得bn_，那么b叫作a的次幂，记作b_.它就是分数指数幂 分数指数幂不是个a相乘，实质上是关于b的方程bnam的解(2)写成根式形式：_，_(其中a0，m，nN，且n1)(3)结论：0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_【做一做21】 等于( )A. B. C. D.【做一做22】 等于( )A B C D3无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的_ 指数的扩充过程：(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂【做一做3】 计算：(1)；(2)；(3).答案：11【做一做11】 C【做一做12】 162(1)唯一am(2)(3)0没有意义【做一做21】 D【做一做22】 A3实数【做一做3】 (1)(2)(3)1为什么分数指数幂的定义中规定b为正实数？剖析：由整数指数幂的规定知，当a0时，对任意整数m，总有am0.若b0，当n为正整数时，bn0，此时bnam；当n为负整数或零时，bn无意义，bnam无意义若b0，当n为奇数时，bn0，此时bnam；当n为偶数时，虽然bnam成立，但此时，0b0.因此规定b0.2为什么分数指数幂的定义中规定整数m，n互素？剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾例如：中，底数aR, 当a0时，0，而如果把写成，有两种运算：一是就必须a0；二是，在a0时，的结果大于0，与0相矛盾所以规定整数m，n互素题型一 用分数指数幂表示正实数【例1】 把下列各式中的b写成分数指数幂的形式(b0)：(1)b34；(2)b25；(3)bm32n(m，nN)反思：将bkd中正实数b写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：bnamba(m，nN，b0)题型二 用分数指数幂表示根式【例2】 用分数指数幂表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4).反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a(a0，m，nN，且n1)题型三 求指数幂a的值【例3】 计算：(1)64；(2)；(3).分析：将分数指数幂化为根式，再求值反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键题型四 易错辨析易错点 忽略n的范围导致化简时出错【例4】 化简：.错解：原式(1)(1)2.错因分析：错解中忽略了10的事实，应当是1.答案：【例1】 解：(1)b.(2)b.(3)b.【例2】 解：(1).(2).(3).(4).【例3】 解：(1).(2).(3).【例4】 正解：原式(1)|1|112.1 写成根式形式是( )A. B. C. D.2若b43(b0)，则b等于( )A34 B C43 D353 等于( )A0 B1 C D没有意义4 把下列各式中的正实数x写成根式的形式：(1)x23；(2)x753；(3)x2d9.5 求值：