湖北省孝感市联考协作体2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

湖北省孝感市联考协作体2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的规则，写出命题的否定.【详解】命题“”的否定，将条件中的改为，结论中的，改为.故选D项.【点睛】本题考查写出命题的否定，属于简单题.2.抛物线的焦点坐标是( )A. (0，2)B. C. D. (0，4)【答案】A【解析】【分析】将抛物线化成标准形式，然后得到其焦点坐标【详解】由抛物线可得，所以其焦点坐标为，故选A项.【点睛】本题考查抛物线的标准形式，通过抛物线方程求焦点坐标，属于简单题.3.若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）A. 2B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据，可知的方向向量与平面的法向量共线，从而得到的值.【详解】 的方向向量与平面的法向量共线.，即，解得，故选A项.【点睛】本题考查空间向量的位置关系，通过向量共线求参数的值，属于简单题.4.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则等于（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】由梯形中位线长度得到上底和下底长度之和，通过抛物线定义，转化为到焦点的距离，然后得到的长度.【详解】设中点为，则，过分别做准线的垂线，垂足分别为因为为中点，则易知为梯形的中位线，而，所以.根据抛物线定义可知所以.故选A项.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及抛物线中线段的几何关系，属于简单题.5.有下列三个命题：（1）“若，则”的否命题；（2）“若，则”的逆否命题；（3）“若 ,则的逆命题其中真命题的个数是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出（1）的否命题，然后判断其是否是真命题，（2）的逆否命题的真假性与原命题相同，可直接通过判断原命题的真假，写出（3）的逆命题，然后判断其是否是真命题.【详解】（1）的否命题为“若，则”，可取，此时结论不成立，为假命题；（2）逆否命题的真假性与原命题相同，当时，所以为假命题；（3）的逆命题“若，则”为真命题.故只有1个真命题，选B项.【点睛】本题考查写否命题，逆命题，以及逆否命题和原命题真假性的关系，属于简单题.6.已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若则的面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线第一定义，得到，由勾股定理得到，通过这两个式子之间的化简，得到的值.【详解】由双曲线，可知所以，两边平方可得，则由勾股定理得因此可得所以故选C项.【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形的面积.属于简单题.7.已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为( )A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】根据两个平面法向量之间的夹角公式，求出它们之间的夹角余弦值，再得到夹角.【详解】，设与之间的夹角为二面角的大小可能为和.【点睛】本题考查由两个面的法向量求二面角，属于简单题.8.若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直线与双曲线联立，与双曲线左支有两个交点，转化为关于的方程在上有两个不同的根，由根的分布得到的取值范围.【详解】，整理得因为直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则方程在上有两个不同的根.需满足解得 所以的范围为故选B项.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，一元二次方程根的分布，数形结合的数学思想，属于中档题.9.已知 ， ，若是 的一个必要不充分条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据是 的一个必要不充分条件，可得，然后得到的取值范围【详解】，即，即是的一个必要不充分命题，可得即的范围比的范围小，故，即故选B项.【点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题.10.已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先写出双曲线的渐近线方程，然后利用渐近线与圆相切得到圆心到渐近线的距离等于半径，得到关系，再由圆的圆心是双曲线的右焦点，得到，从而解出，得到双曲线的方程.【详解】，其渐近线方程为，渐近线与圆，圆心，半径. 即圆的圆心是双曲线的右焦点，再由双曲线，可得所求的双曲线的方程为故选D项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与圆的相切，通过渐近线和焦点求双曲线的方程，属于简单题.11.如图所示三棱柱中，侧面是边长为2菱形， 交与点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】做平面于，则与的横、纵坐标相同，求出的长，从而得到点的坐标.【详解】做平面于，连接，所以点与点的横纵坐标相同，点竖坐标的值为的长度，平面，所以平面，所以和到平面的距离相等.而平面，平面，所以，所以为平行四边形，所以，所以为平行四边形所以所以为平行四边形，所以而在边长为2的菱形中，可得所以点坐标为而为等腰直角三角形，所以，故点坐标为.故选B项.【点睛】本题考查空间之间坐标系中求点的坐标，属于简单题.12.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于， 两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设在准线上的射影分别为，且设 ，直线倾斜角为。则。 所以， 。 由抛物线焦点弦长公式可得。选B。 或：由得，得直线方程与抛物线联立进而可解得， 于是。故选B点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_；【答案】8【解析】试题分析：由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=20，由此可求出|AB|的长解：由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，即|AB|+12=20，|AB|=8故答案：8点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用14.若命题“xR，使x2(a1)x10”是假命题，则实数a的取值范围为_；【答案】或【解析】xR，使得x2(a1)x10是真命题(a1)240，即(a1)24，a12或a12，a3或a1.所以（-，-1)(3, +)15.如图所示，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使二面角的大小为，则点与点之间的距离为_；【答案】4【解析】【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到长度.【详解】过点做至点，使得，连接，.平行四边形中，可得由，可得为平行四边形，可得为正方形.，所以是二面角平面角，即所以在中，由余弦定理可得由面，可得面，所以面而面，所以在中，有勾股定理可得【点睛】本题考查将二面角转化为平面角，通过线线垂直证明线面垂直，余弦定理和勾股定理求线段长度，属于中档题.16.如图所示：在圆C：(x1)2y216内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x3)2y216外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为_【答案】 【解析】【分析】连结，可得，则，为定值，求得点的轨迹为双曲线的左支，并求出，得到双曲线的方程，即所求的的轨迹方程.【详解】连结，点在线段的垂直平分线上，所以点的轨迹为双曲线的左支，所以所以双曲线的轨迹方程为【点睛】本题通过几何关系，找到点的轨迹，然后根据题意找出相应的，求出轨迹方程.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.给出下列命题：方程表示的曲线是双曲线；：方程表示的曲线是一个圆；(1) 若为真命题，求的取值范围；(2) 若为真命题，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】分别得到命题和命题成立时的的取值范围，根据逻辑联结词的真值表，分别得到相应的的取值范围.【详解】 ：方程表示的曲线是双曲线 ：方程表示的曲线是一个圆 （1）由为真命题，可知命题和命题都是真命题 （2）由为真命题，可知命题为真命题或者命题为真命题 或【点睛】本题考查逻辑联结词真值表，通过判断命题的真假性，得到相应范围，属于简单题.18.（1）如图（1）所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率；（2）如图（2）所示，双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲线的离心率【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）依题意、，由得： 而 即 . （2）依题意，；渐近线斜率：，直线与该双曲线的一条渐近线垂直 而 解得 由因为，所求【点睛】本题考查利用几何关系构造关于的方程，求椭圆和双曲线的离心率.属于中档题.19.如图所示，直三棱柱中，是边长为2等边三角形，是的中点（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于，证明出,从而证明平面.（2）以为原点，建立如图所示空间坐标系，求出平面的一个法向量，通过向量夹角公式，求出与法向量之间的夹角余弦值，从而得到与平面所成角的正弦值.【详解】(1)连接交于，四边形为平行四边形， 为中点，又为中点， 平面 平面平面 (2) 因为是等边三角形，是的中点，所以如图，以为原点，建立如图所示空间坐标系 由与平面所成角为 则，则， 设平面的一个法向量为，则，即，取，则， 又，设与平面所成角为，则，故所求与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，建立空间直角坐标系，通过直线与平面法向量之间夹角的余弦值，求直线与平面之间的夹角正弦值，属于中档题.20.已知点F为抛物线C：x22py (p0) 的焦点，点A(m，3)在抛物线C上，且|AF|5，若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线的距离为，设点P到直线的距离为(1)求抛物线C的方程；(2) 求的最小值；(3)求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，将的长度转化为点纵坐标到准线的距离，从而得到，求出抛物线方程.（2）将抛物线上点的到直线的距离转化为直线与抛物线相切时，两平行线之间的距离.（3）利用抛物线定义，将转化为的长度，从而的值等于焦点到直线的距离，再求出其最小值.【详解】（1）抛物线，所以抛物线的准线为由抛物线的定义得，解得，所以抛物线的方程为（2）设直线的平行线：与抛物线相切， 整理得 得故所求的最小值为 （3）由直线是抛物线的准线， 所以的最小值等于到直线的距离：故所求的最小值为.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线上的点到直线的距离和，属于中档题.21.如图所示，在几何体中，四边形是菱形，平面，且，.(1)证明：平面平面；(2)若二面角是直二面角，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明，证明平面，再得到平面平面.（2）以为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角是直二面角求出，得到与的坐标，利用向量夹角公式，得到答案.【详解】（1）证明：四边形是菱形，平面， 而 平面，平面，平面平面 （2）设与的交点为，由(1)得，如图：分别以为轴和轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .设，则，设是平面的法向量，则，即，令，平面AEF的一个法向量为 同理设，是平面的法向量，则 得平面的一个法向量为，二面角是直二面角，.，设异面直线与所成角为 故所求异面直线与所成角为的余弦值为.【点睛】本题考查通过线面垂直证明面面垂直，通过已知二面角求线段长度，利用空间向量求异面直线的夹角余弦值，属于中档题.22.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，且椭圆四个顶点构成的菱形面积为(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l ：yxm与椭圆C交于M，N两点，以MN为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求m的值及PMN的面积【答案】（1）