高中数学第一章统计案例1.1回归分析残差分析的相关概念辨析及应用素材北师大版选修1_2VIP

残差分析的相关概念辨析及应用在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R2来刻画回归效果. 称为相应于点(xi，yi)的残差类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 作为2的估计量，其中和由公式, 给出，Q(，)称为残差平方和.可以用衡量回归方程的预报精度通常，越小，预报精度越高例1设变量x,y具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( )A点A B.点B C.点C D.点E思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F呈线性分布，E点远离这个区域，说明点E数据有问题解答D评析 可以用Excel画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x与y有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布例2为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：(1)画出散点图(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程(3)求出残差，进行残差分析思路与技巧 可以用Excel画散点图，由散点图发现x与y是否呈线性分布，由此判断x与y之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析解答 (1)由Excel表格画散点图如图(2)设=bx+a是线性回归直线方程，以重量为横坐标，以残差为纵坐标画残差图如图由残差图看出，这些样本点的残差对应点均匀地落在水平带状区域内，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高评析 回归模型中，残差变量不能被直接观测到，必须通过模型拟合后计算得到画残差散点图的目的就是直观观测残差图，发现观测数据中可能出现的错误及所用模型是否恰当，若样本点残差较大，需确认这个点在采集过程中是否存在错误，若有，需重新采集数据，重新利用数据拟合若采集数据没有错误，就另找原因若残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用模型较合适，带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高同学们学习残差时应明确以下几点：（1）误差e受许多条件的影响，也受所选用的线性模型的影响，因此线性模型往往只是一种近似的模型.（2）作残差图有时不够精确，也难于认定拟合程度的好坏，因而多数情况下，选用计算相关指数R2来说明拟合效果.（3）可以对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，也可以比较几个R2的值，选择R2大的模型作为这组数据的回归模型.（4）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;建立的回归方程一般都有时间性;样本取值的范围会影响回归方程的适用范围,一般不能超过这个范围，否则没有实用价值;不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值，它是预报变量的可能取值的平均值。练习:为研究重量x(单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，数据如下表：（1)画出散点图(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程(3）对x.y两个变量进行相关性检验（4)残差平方和是多少？解：（1)如下图