高中数学第一章统计案例1.1回归分析利用最玄乘法求回归直线素材北师大版选修1_2

利用最小二乘法求回归直线研究具有相关关系的两个变量，就是寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性，该分析过程称为回归分析，其思想是把相关关系（即不确定性关系）转化为确定性的函数关系根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫做线性回归分析，所求函数关系=bx+a就是线性回归方程=bx+a是回归方程中的斜率,a是截距，且回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线回归直线是与数据点最贴近的直线，也就是使离差的平方和Q=最小的直线，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差平方和最小”的方法叫做最小二乘法实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系本文通过几个具体例子谈谈如何根据最小二乘法的思想，借助计算器或计算机求回归直线的方程。1.利用最小二乘法思想求回归直线的方程例1.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：（1）y与x之间是否具有线性相关关系？（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.分析: 求回归直线方程和相关系数，通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出线性回归方程的系数和相关系数.解：（1）列出下表，并用科学计算器进行计算：查表得出相应于0.05和n-2的相关系数临界值r 0.05=0.632.由rr 0.05知，y与x具有线性相关关系.（2）设所求回归直线方程为=bx+a .分别代入计算公式得，b0.668，a=54.96，即所求回归直线方程为0.668x+54.96.点评：一般情况下，在具体问题里先进行相关性检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系后，再求其线性回归方程，否则，所求得的线性回归方程是无意义的.实际上，先求相关系数，再求线性回归方程并没有增加太多的计算量，因为在完成上述表格的基础上，两种结果都很容易用计算器求出.2. 注意区分y关于x的线性回归方程与x关于y的线性回归方程例2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；x关于y的回归直线方程分析：如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，那么说明两变量具有线性相关关系解：(1)画出散点图,如上图.由图可知y与x有线性相关关系(2)列表、计算：设所求的回归直线方程为=bx+a,则由上表可得即所求的回归直线方程为：=0.668x+54.96.设所求回归直线方程为即所求回归直线方程为点评：y关于x的线性回归方程与x关于y的线性回归方程一般情况下不相同,要注意区分,并熟练掌握.3. 解决实际应用问题例3.下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：试估计1996年我国居民生活污水排放量，并预测2020年生活污水排放量(单位：108 t)解析 要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996年，样本容量为7.解答 设1995年为第1年,2002年为第8年，列表，用科学计算器进行有关计算：回归方程为y=11.45x+147.2.当x=2时,y=170.1,当x=14时,y=307.5.1996年污水排放量估计为170.1108 t，2020年污水排放量估计为307.5108 t.点评：灵活选取数据可以简化运算，故只要求