高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比推理与证明的渗透应用素材北师大版选修1_22

推理与证明的渗透应用推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。将推理与证明融合渗透到其它知识中，既体现了知识间的密切联系，也是近年高考考查的热点；推理与证明以其独有的技巧与方法，在高考中占有着特殊的地位和作用。下面选取几个知识视角，举例说明推理与证明在其它知识中的渗透应用。一、 归纳推理与数列例1 设an 是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0(nN*) ，则它的通项公式an= 。解析：由2a22-a12+a1a2=0，得a2=12 （a2=-1舍去）；由3a32-2a22+a2a3=0，得a3=13 （a2=-12舍去）；由4a42-3a32+a3a4=0，得a4=14 （a2=-13 舍去）。所以推测an=1n ，代入等式验证，等式成立。故an=1n 。点评：本题是根据数列的递推关系式，利用归纳推理归纳猜想出数列的通项公式。归纳推理的过程通常是：选取个体 观察分析 推测结论；其关键在于观察过程中如何发现规律，推测出一般性命题。学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现。例2 一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆， 表示实心圆）：若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2008个圆中实心圆的个数为 。解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题求前2008个圆中有多少个实心圆，因此，需找到第2008个圆所在的段数。由于2+3+62=2+62261=19522008。因此，共有61个实心圆。点评：利用归纳推理发现规律是处理此题的关键所在，而“分段”正是要点所在，它使规律很清晰地显现出来。二、 类比推理与几何例3 已知圆的方程x2+y2=r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2。类比上述性质，可以得到椭圆x2a2+y2b2=1类似的性质为 。解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换。故可得椭圆x2a2+y2b2=1类似的性质为：过椭圆上一点P(x0，y0)的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1。点评：本题通过圆的一个性质类比得到椭圆一个类似性质，是一种平行类比。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。例4 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1，2，3，4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1，2，3，4)，若a11=a22=a33=a44=k ，则i=14(ihi)=2Sk 。类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1，2，3，4)，若S11=S22=S33=S44=K，则i=14(iHi)等于 。a2 a1 h2 h3 h1 a3 h4Pa4解析：因为V=13(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) ，S11=S22=S33=S44=K ，所以V=13(KHI+2KH2+3KH3+4KH4) ，所以HI+2H2+3H3+4H4=3VK ，即i=14(iHi)=3VK 。点评：本题是由平面向空间的类比。类比推理的关键是找到合适的类比对象。一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积 合情推理对思维能力有较高的要求，特别是类比题，成为近年高考命题中的热点题型，是高考命题的一道亮丽的风景。三、演绎推理、直接证明与间接证明与不等式例5 设函数fx=ax2+bx+c(a,b,cR)，且f1=-a2，3a2c2b。求证：（1）a0且-3ba-34 ；（2）函数fx在区间(0，2)内至少有一个零点；（3）设x1、x2是函数fx的两个零点，则2|x1-x2|2c2b，3a0, 2b0, b2c2b，3a-3a-2b2b。a0，-3ba0时, a0，f0=c0且f1=-a20，f1=-a20, 函数fx在 (1，2)内至少有一个零点。综合、得， fx在区间(0，2)内至少有一个零点。（3）x1、x2是函数fx的两个零点，则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。x1+x2=-ba，x1x2=ca=-32-ba。x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-ba)2-4(-32-ba)=(ba+2)2+2。-3ba-34，2|x1-x2|），fx是fx的导数，设a1=1，an+1=an-fanfan n=1，2，3，。（1）求、的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有an；（3）记bn=lnan-an-n=1，2，3，,求数列bn的前n项和Sn 。解析：（1）、（3）略；（2）fx=2x+1，an+1=an-fanfan =an-an2+an-12an+1=an2+12an+1 ,an+1-=an2-2an+1-2an+1=an2-2an+2-(2+-1)2an+1=(an-)22an+1 .下面用数学归纳法证明当n1时，an-0成立： 当n=1时，an-=1-=3-520，命题成立。假设n=k,k1时命题成立，即an-0，此时an0，则当n=k+1时，ak+1-