高二数学专题讲座——分类讨论人教版

高二数学高二数学专题讲座专题讲座分类讨论分类讨论人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 专题讲座分类讨论 （一）学习指导 在解（或证）某些数学问题时，往往会由问题的不同情况而采取不同的转 化方法，或得出不同的结论。因而这类数学问题的求解就必须“分类讨论”， 这与我们日常工作中，要特别注意“分别情况区别对待”是完全一致的。 （二）何时需要分类讨论 1. 某种运算可否实施情况不定： 如：取对数时，真数大于零，底数大于零且不等于 1 的条件得不到保证， 2. 式子变形的条件能否具备情况不定： 如：不等式两边同乘（或除）一个数的正、负不定时， 3. 函数的某种性质定理具备情况不定： 如：指数函数与对数函数由于底 a 的取值范围不定而导致的函数的增、减 不定， 4. 解析几何中，曲线方程的类型不定。 （三）分类讨论遵循“不重不漏”的基本原则 1. 对每一个基本公式、基本性质的适用范围，对每一种运算实施的条件，都 能准确地把握。 2. 思考问题时，切忌极端和片面，力争统观全局。 3. 在分类讨论的全过程中，要坚持同一个分类的标准。 （四）分类讨论的类型题 （ ）不含参数的讨论问题； （ ）含有参数的讨论问题。 1 2 【典型例题典型例题】 1. 不含有参数的讨论问题 例 1. 解不等式：logxxx5832 2 解：解：loglog xx xxx583 22 01 5830 583 1 5830 583 2 22 2 22 x xx xxx x xx xxx 或 1 2 3 5 3 2 xx或 原不等式的解集为或xxx| 1 2 3 5 3 2 例 2. 解不等式： xx311 分析：分析：此题要按零点分类去掉绝对值符号 -1 3 x 零点为和xx 13 应该分三类求解 （ ）当时，11 1 311 1 x x xx x （ ）当时，213 13 311 13 1 2 1 2 3 x x xx x x x （ ）当时，33 3 311 3 41 3x x xx x x 综上，原不等式的解集为：， 1 2 例 3. 设 、为椭圆的两个焦点， 为椭圆上的点，已知 、 、FF xy PPFF 12 22 12 94 1 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。PFPF PF PF 12 1 2 分析：分析：因 P、F1、F2是一直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则直角 顶点有两种可能性，点 F2或点 P，故有两解。 解：解：椭圆方程为 xy 22 94 1 abc325， PFPFaF Fc 1212 2622 5， P F1 F2 x （ ）当时，设，则1906 2112 PF FPFxPFx o xxx 2 2 206 14 3 PFPF 12 14 3 4 3 ， PF PF 1 2 7 2 （ ）当时，设，2906 1212 F PFPFxPFx o xxxx 2 2 2 62 542或（舍） PFPF 12 42， PF PF 1 2 4 2 2 y 2 F1 F2 x -2 P 答：若时，；若时，。PF F PF PF F PF PF PF oo 21 1 2 12 1 2 90 7 2 902 2. 含有参数的分类讨论问题 例 1. 已知：，求证：aba ba b abba 00 证明：证明： a b a b ab a b ab ba a ba b a b 又，ab00 （ ）当时，10101ab a b ab a b a b （ ）当时，20101ab a b ab a b a b （ ）当时，300101ba a b ab a b a b 上述三种情况均说明：，即 a b a ba b a b abba 1 例 2. 解关于 的不等式：xaxx 2 210 解：解：（ ）当时，原不等式10210 1 2 axx （ ）当时，原不等式21101 2 axx （ ）当时，3044 22 1 2 aax a a x a a x a a 12 11 2 11 ， aaxx0210 2 ， 解集为： 1111a a x a a （ ）当时，401 1111 12 ax a a x a a 解集为：或x a a x a a 1111 （ ）当时，原不等式的判别式51440aa 解集为 R 综上，原不等式的解集为： （ ）当时，10 1111 ax a a x a a （ ）当时，20 1 2 axx （ ）当时，或301 1111 axx a a x a a （ ）当时，411axx （ ）当时，51aR 例 3. 解关于 的不等式：x xa xa aR 2 0 () 解：解： xa xa xa xa 2 2 00 要求出这个一元二次不等式的解就必须先比较 a2与 a 的大小， a2aa（a1） （ ）当或时101001 2 aaa aaa 原不等式的解集为： x axa| 2 （ ）当时201001 2 aaa aa 原不等式的解集为： x axa| 2 （ ）当或时301001 2 aaa aaa 原不等式的解集为： 综上，原不等式的解集为： （ ）当或时，101 2 aax axa| （ ）当时，201 2 ax axa| （ ）当或时，原不等式的解集为301aa 说明： （1）在严格分类标准下，分类讨论要做到不重不漏，但也不要分得过细、 过碎。 （2）不等式的解集要按参数的分类写出，千万不可以合并。 例 4. 函数的图象与 轴只有一个公共点，求实f xmxmxx( ) 1211 2 数 m 的值及这个交点的坐标。 分析：分析：因为已知条件未指明 f(x)是 x 的二次函数，故当 x2的系数为零时， f(x)是一次函数。当 x2的系数不为零时，f(x)是二次函数，因此要分类讨论。 解：解：mR，有以下两种情况： （ ）当时，是一次函数，其图象为一条直线1110mmf x ( ) 当时，图象与 轴只有一个交点，符合题意mf xxx 141 1 4 0( ), 当时，直线与 轴无交点，但mf xyxmm 11111( ) （ ）当时，2mm 110 f(x)是 x 的二次函数，其图象为开口向上的抛物线 抛物线 f(x)与 x 轴只有一个交点 抛物线 f(x)与 x 轴必相切 41410 2 mm 即：mmm 2 20(*) 当且时，式化为：mmmm0130 2 (*) mm03或 mm00，为所求 此时，f xxxx( ) 2 2 211 抛物线与 轴的公共点为，f xx( )10 当且时，式化为：mmmm 010 2 (*) mm01或 又，此时无解m 0 综上所述，所求实数 m 的值为 1 和 0 当时，公共点为， 当时，公共点为， m m 1 1 4 0 010 注：一般在化去绝对值符号时要注意分类讨论。 【模拟试题模拟试题】 1. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，求双曲线的离心率。60o 2. 求过点 P（0，4）与抛物线只有一个公共点的直线。yx 2 2 3. 解关于 x 的不等式： ax x aR 1 1() 试题答案试题答案 1. 解：解： y x 60 30 c b 或 a a 或 b （1）当双曲线焦点在 x 轴上时， a c c a o cos30 2 3 3 ， （2）当双曲线的焦点在 y 轴上时， a c c a o sin302， 综上，双曲线的离心率为或 2。 2 3 3 2. 解：解：过点 P（0，4）与抛物线只有一个公共点的直线有 3 条。yx 2 2 y 4 y=4 x （1）当斜率不存在且过点 P（0，4）时，直线方程为。x 0 （2）当斜率存在且为时，过 P（0，4）的直线：。k 0y 4 （3）当斜率存在且又过点 P（0，4）应与抛物线相切k 0 ，消去 y， ykx yx 4 2 2 k xkx 22 82160 64324640 1 8 1 8 4 22 kkkk yx 综上，所求过点 P（0，4）且与有一个公共点的直线为：yx 2 2 （1）当 k 不存在时，直线为；x 0 （2）当时，直线为；k 0y 4 （3）当时，直线为。k 0yx 1 8 4 3. 解：解： ax x 1 1 axx x xa x 1 1 0 1 110 （1）当，即时，原不等式10aa 1 xx a 1 1 1 0 当时，即a 01 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解为：或x a 1 1 x 1 当时，即01a1 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解为：或x 1x a 1 1 （2）当时，即时，10aa 1xx101 （3）当时，即时，原不等式