高二数学2—2第三章数系的扩充与复数人教实验版（B）

高二数学高二数学 22 第三章第三章 数系的扩充与复数数系的扩充与复数人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 22 第三章 数系的扩充与复数 二. 教学目的： 1. 掌握复数的概念、复数的表示方法及其几何意义； 2. 掌握复数的加、减、乘、除运算。 三. 教学重点、难点： 重点：复数的概念、复数的表示方法及其几何意义；复数的加、减、乘、除运算。 难点：复数的概念、复数的向量表示、复数的模及相关内容。 四. 知识分析： 【知识结构】 复数与复数分类 复数相等的充要条件 共轭复数 复数的模 复数的概念 复数的运算 复数的加法法则 （abi）（cdi）=（ac）（bd）i 复数加法的几何意义 复数的减法法则 复数减法的几何意义 （abi）（cdi）=（ac）（bd）i 复平面上两点间的距离 d|z1z2| 复数的乘法法则 （abi）（ cdi）=（acbd）（adbc）i 复数的除法法则 i dc adbc dc bdac dic bia 2222 复数 【知识点剖析】 1. 复数及分类 形如的数叫做复数，其中 a 为实部，b 为虚部，i 是虚数单位，且满足)Rb, a (bia 。1i2 )0a ( )0a ( )0b( )0b( )Rb , a ( biaz 非纯虚数 纯虚数 虚数 实数 复数 2. 复数相等的充要条件 。特别地。)Rd, c, b, a ( , db, cadicbia)Rb, a (0ba0bia 3. i 的幂 。)Zn( ii , 1i , ii , 1i 3n42n41n4n4 4. 复数的加法和减法 。)Rd, c, b, a ( i )db() ca ()dic ()bia ( 5. 复数的乘法和除法 （1）复数的乘法按多项式相乘进行，即 。i )bcad()bdac(bdibciadiac)dic)(bia ( 2 （2）复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化。 6. 共轭复数及其运算性质 与互为共轭复数，且，它的biazbiaz 22 |z|z|zz,bi2zz, a2zz 运算性质有：， 2121 zzzz 2121 zzzz)0z( z z ) z z ( 2 2 1 2 1 7. 的性质 记，则，i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 1 33 01 2 1 ，。12 8. 数集间的联系：CRQZN 9. 复数集 C 与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。 10. 复数的加减运算是按照向量相加减的平行四边形和三角形法则进行的，见图 1、图 2。 11. 复数的模即为对应向量的模 设，则且有biaz 22 bar|z| （1）；|z|z|zz|z|z| 212121 （2）；zz|z| 2 （3）；1zz1|z| （4）。zz|z|z|z|z| 2222 12. 复数与点的轨迹 （1）两点间的距离公式：；|zz|d 21 （2）线段的中垂线：；|zz|zz| 21 （3）圆的方程：（以点 P 为圆心，r 为半径） ；r|Pz| （4）椭圆：（2a 为正常数，） ；a2|zz|zz| 21 |zz|a2 21 （5）双曲线：（2a 为正常数，） 。a2|zz|zz| 2l |zz|a2 21 【本章专题归纳】 专题一：用定义解题专题一：用定义解题 主要的方法是复数问题实数化，处理过程主要是根据复数相等建立方程，通过解方程 式或方程组，达到解题的目的 例例 1 已知，求 z。i 62|z|z2 解：解：设（） ，代入已知方程得yixzRy, x 。i 62yx)yix(2 22 即。i 62yi2)yxx2( 22 由复数相等定义得 , 6y2 , 2yxx2 22 由得 y3，代入， 。)x1 (29x 2 平方得 . 0 x1 ,)x1 (49x 22 解得。 3 314 x 。i 3 3 314 z 例例 2 虚数 z 满足，求 z。1|z|0 z 1 z2z2 解：解：设（，x、） ，。yixz0y Ry1yx 22 则 z 1 z2z2 yix 1 )yix(2)yix( 2 。i ) 1x2(y)x3yx( 22 又，0y , 0 x3yx , 01x2 22 又， 1yx, 1|z| 22 由得 . 2 3 y , 2 1 x . i 2 3 2 1 z 专题二：复数运算与技巧专题二：复数运算与技巧 作为复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加 减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，但注意 2 1 i 在运算的过程中常用来降幂的公式有： （1）i 的乘方：；)Zk( ii , 1i , ii , 1i 3k42k41k4k4 （2）；i 2) i1 ( 2 （3）设，则（i 2 3 2 1 1n3n32223 , 1, 1 , 01, 1 ）等。 N （4）。1i 2 3 2 1 3 （5）作复数除法运算时，有如下技巧： ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化。i bia i )bia ( i )aib( i )bia ( aib bia 例例 3 复数的值是（ ） 4 i 1 1 A. 4iB. 4iC. 4 D. 4 解：解：本小题主要考查复数的基本知识，利用复数代数形式的运算法则解决此类问题。 。4) i 2() i1 ( i ) i1 ( i i1 i 1 1 24 4 4 44 答案：答案：D 例例 4 计算：。 77 i 31 i 22 i3 i 22 解：解：原式 7 7 ) i3i ( ) i1 (2 i3 ) i1 ( i 2 7 77 2 ) i3 i 22 (2 i3 ) i1 ( i 2 i3 ) i1 ( i 2 = 7 2 ) i3)(i1 ( 2 = 7732 ) i 2 3 2 1 () i)(i1 () i1(2 2 i 31 i) i1 () i 8(2 . i )388(388 例例 5 已知，求的值。1 x 1 x 2006 2006 x 1 x 解：解：。01xx, 1 x 1 x 2 。1x, i 2 3 2 1 x 3 ,xxx, 266832006 2266832006 . 1 2) 1(2) x 1 x( x 1 x x 1 x 22 2 2 2006 2006 专题三：有关共轭复数的问题专题三：有关共轭复数的问题 除用共轭复数的定义解题外，也常用下列结论简化解题过程。 （1）； 22 |z|z|zz （2）； z 1 z1|z| （3）；zzRz （4），z 为纯虚数。0z zz 例例 6 已知与是非零复数，且，求证：。 1 z 2 z|zz|zz| 2121 0 z z 2 2 1 证明：证明：证法一 |zz|zz| 2121 2 21 2 21 |zz|zz| )zz( )zz()zz( )zz( 21212121 )zz)(zz()zz)(zz( 21212121 0zzzz 2121 （不等于零） 2 1 2 1 z z z z 21 z,z 22 11 2 1 2 12 2 1 zz zz z z z z ) z z ( ，即。0 |z| |z| 2 2 2 1 0) z z ( 2 2 1 证法二 ，| 1 z z | 1 z z |zz|zz| 2 1 2 1 2121 对应点的轨迹是 y 轴（以复数 1 和1 所对应的两点的线段的中垂线） ， 2 1 z z ，故除去原点，0 z z 2 1 为纯虚数，。 2 1 z z 0 z z 2 2 1 例例 7 （1）已知 z 是虚数，求证：为实数的充要条件是。 z 1 z 1|z| （2）复数，求证：是纯虚数的充要条件是。1z 1z 1z 1|z| 证明：证明：（1）证法一 设（且） ，yixzRy, x0y 则 22 yx yix yix yix 1 yix z 1 z 。i ) yx y y( yx x x 2222 当，即，则。1|z|1yx 22 Rx2 z 1 z 当，即，又，R z 1 z0 yx y y 22 0y ，即，因此，是的充要条件（z 为虚数） 。1yx 22 1|z|1|z|R z 1 z 证法二 . z 1 z, 1|z|zz, 1|z| 2 .Rzz z 1 z 当，即。R z 1 z z 1 z) z 1 (z z 1 z 。0 zz zz zz, 0 z 1 z 1 zz z 为虚数，。0zz ，即，即，0 zz 1 11zz 1|z| 2 。1|z| （2）证法一 设，且时，)Ry, x(yixz0y 1x 则， 故当时，是纯虚数的充要条件是 1z1z 1z . 0 y) 1x( , 0y2 , 01yx 22 22 . 1 |z| 证法二 为纯虚数的充要条件是 1z 1z 且， 0) 1z 1z ( 1z 1z 0 1z 1z 即，即， 0 1z 1z 1z 1z 02zz2 即，即，即。 1zz 1|z| 2 1|z| 专题四：有关复数模的问题专题四：有关复数模的问题 在解答与复数的模相关的问题时，重视应用下列公式： （1）； 22 |z|z|zz （2）； nn n21n21 |z|z| |,z|z|z|zzz| （3）。 |z| |z| z z 2 1 2 1 例例 8 ，复数，若，求实数 a。Ra 2 23 ) i 3a (2 ) ia () i1 ( z 3 2 |z| 解：解：设，则有i 3az, iaz, i1z 321 ，9a|z| , 1a|z| ,2|z| 2 3 2 21 ， 3 2 |z|2 |z|z| |z| 2 3 2 2 3 1 。9a3a3, 3 2 )9a (2 ) 1a (22 22 2 2 . 3a, 3a 2 例例 9 若 z、，且，求的值。Cz0 0 zz 2|z| 0 0 zz4 zz 解：解：解法一 , 4zz|z| , 2|z| 2 )zz(z zz zzzz zz zz4 zz 0 0 0 0 0 0 . 2 1 z 1 解法二 0 0 0 0 2 0 0 zz4 zz zz4 zz zz4 zz 00 2 0 2 00 2 0 2 zz4zz4|z|z|16 zzzz|z|z| , 4 1 )zzzz|z|4(4 zzzz|z|4 00 2 0 00 2 0 . 2 1 zz4 zz 0 0 例例 10 已知且，求的最值。Cz1|z| 1zz| 2 解：解：, 1zz, 1|z| ),1zz(zzzzz1zz 22 | ) 1zz(z| 1zz| 2 . | 1zz| 1zz|z| 设，那么，yixz1x21zz 又，。1|z|1yx 22 , 11x23, 1x1 即。3| 1x2|0 的最小值为 0，最大值为 3。| 1zz| 2 例例 11 已知复数， （1）求；（2）若，求的最大值。 3 1 ) i1 ( iz|z| 1 1|z|zz| 1 解：解：（1）),i1 (2) i1)(i 2( i) i1 ( iz 3 1 . 2222|z| 22 1 （2）解法一 ，1|z| 设，sincosz | i 22sinicos|zz| 1 22 )2(sin)2(cos . ) 4 sin(249 当时，取得最大值，从而得到的最大值1) 4 sin( 2 1| zz|249 |zz| 1 。122 解法二 可看成半径为 1，圆心为（0，0）的圆，而对应坐标系中的点1|z| 1 z （2，2） 。 的最大值可以看成点（2，2）到圆上的点距离最大，|zz| 1 由下图可知：。122|zz| max1 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题。 1. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）5i 2 2 i 2i 5 A. B. C. D. i 22 i 22 i 55 i 55 2. 设，为复数，则下列四个结中正确的是（ ） 1 z 2 z A. 若，则0zz 2 2 2 1 2 2 2 1 zz B. 若，则0zz 2 2 2 1 0zz 21 C. 21 2 2121 zz4)zz(|zz| D. 是纯虚数或零 11 zz 3. 复数对应的点在虚轴上，则（ ）i )2aa ()a2a (z 22 A. 或B. 且2a 1a 2a 1a C. 或D. 2a 0a 0a 4. 若复数 z 满足，则 z 等于（ ） i 21 10 z|z| A. B. i 43i 43 C. D. i 43i 43 5. 设，则等于（ ）z1)z(fi 32z1i5z2)zz(f 21 A. B. C. D. i 44 i 44 i 44 i 44 6. 若，且，则的最小值是（ ）Cz1| i 22z| i 22z| A. 2B. 3C. 4D. 5 7. 集合中元素个数为（ ）Nn,iix|xM nn A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 的值是（ ） i 21 i2 ) i1 ( ) i 31( 6 3 A. 1B. 0C. iD. 2i 9. 若复数 z 满足，则的值等于（ ）1i )z1 (3z 2 zz A. 1B. 0C. 1D. i 2 3 2 1 10. 若是关于 x 的方程的一个根，则 q 的值为（ ）i 23)Rq, p(0qpxx2 2 A. 26B. 13C. 6D. 5 11. 设 a、b、c 都是复数，那么是的（ ） 222 cba0cba 222 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 以上都不对 12. 设，则集合中元素的个数是（ ）*)Nn( i1 i1 i1 i1 )n(f nn )n(fx|x A. 1B. 2C. 3D. 无穷多个 二. 填空题。 13. 已知ABC 中，对应的复数分别为，则对应的复数 AB ACi 21i 32 BC 为 。 14. 若，则 。z1)z(fi 32z1i5z2)zz(f 21 15. 计算 。 i 21 i2 ) i1 ( ) i 31( 6 3 16. 已知，则的最小值是 。)0m( i ) 1m2()3m(z|z| 三. 解答题。 17. （05上海）在复数范围内解方程（i 为虚数单位） 。 i2 i3 i )zz(|z| 2 18. 已知复数，若，求实数 a，b 的值。 i2 ) i1 (3) i1 ( z 2 i1bazz2 19. 设且，证明：是实数。1|z|iz 2 z1 z 20. 已知复数，当时，求 a 的取值 i i 31 i ) i1)(i 31( z )Ra (aiz2| z | 范围。 21. 已知关于 x 的实系数方程的两根分别为，且04a4aax2x 22 1 x 2 x ，求 a 的值。3|x|x| 21 22. 已知。i1z （1）设，求；4z3z2 （2）如果，求实数 a、b 的值。i1 1zz bazz 2 2 参考答案参考答案 一. 选择题。 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10. A 11. A 成立，和都是实数， 222 cba 22 ba 2 c 成立。0cba 222 而成立，说明为实数，但，这两个数不一定为0cba 222 222 cba 22 ba 2 c 实数。 不一定成立。 222 cba 12. C .) i(i*)Nn( i1 i1 i1 i1 )n(f nn nn 根据 i 的周期性，给 n 赋值可得 2, 2, 0)n(fx|x 二. 填空题。 13. i 51 14. i 34 15. 0 16. 10 三. 解答题。 17. 解析 原方程化简为，设， （