高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修2_2.ppt

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法,主题综合法1.观察下面不等式的证明过程,思考此证明过程是从什么方面入手证明结论成立的?在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,【证明】因为ABC为锐角三角形,所以A+B所以A-B.因为y=sinx在上是增函数,所以sinAsin=cosB.同理可得sinBcosC,sinCcosA,所以sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,提示:是从函数y=sinx在上是增函数这一性质入手证明结论成立的.,2.问题1中的证明过程是否为“顺推法”?提示:证明过程是从已知入手,借助不等式的性质和三角函数的单调性得出结论的,所以是“顺推法”.,结论:1.综合法的定义一般地,利用_和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的_,最后推导出所要证明的_成立,这种证明方法叫做综合法.,已知条件,推理论证,结论,2.综合法的流程其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的_,Q1,Q2,Qn表示中间结论.,结论,【微思考】1.综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”,所以综合法是演绎推理.,2.综合法逻辑推理的依据是什么?提示:综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论.,【预习自测】1.设a0,b0,A=,B=,则A,B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.A0,b0,B2=a+b,所以A2B2,即AB.,2.设x0,y0,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是()A.(-,lg6B.(-,2lg3C.lg6,+)D.2lg3,+)【解析】选B.因为x0,y0,x+y=6,所以26,即0xy9,所以lg(xy)lg9,即lgx+lgy2lg3.,3.若实数a,b满足0a所以2ab又因为0a”“b,所以sinAsinB.,答案:,5.设x0,y0,则A与B的大小关系为A_B(填“”“=”或“A.,答案:abc(a+b+c).【解题指南】从已知不等式a2+b22ab出发,一步步由因到果直至推出要证的结论.,【证明】因为a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42a2c2,又a,b,c互不相等.所以上面三式中至少有一个式子不能取“=”,所以a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.,因为a2+b22ab,所以a2c2+b2c22abc2.同理a2b2+a2c22a2bc,b2c2+b2a22ab2c,所以a2b2+b2c2+c2a2abc2+a2bc+ab2c.由,得a4+b4+c4abc(a+b+c).,【方法总结】综合法证明不等式的主要依据(1)a20(aR).(2)(a-b)20(a,bR),其变形有a2+b22ab,ab,a2+b2(3)若a,b(0,+),则特别地,(4)a2+b2+c2ab+bc+ca(a,b,cR).由基本不等式a2+b22ab,易得a2+b2+c2ab+bc+ca,而此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用该结论.,(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出,三个式子中知道两个式子,第三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来.,【拓展延伸】证明不等式的注意点在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.,【巩固训练】已知x0,y0,x+y=1,求证【证明】方法一:因为1=x+y,所以又因为x0,y0,所以所以5+22=9.,方法二:因为x0,y0,x+y=1,所以令x=cos2,y=sin2,则=5+25+22=9.,【补偿训练】已知a0,b0,且a+b=1,求证:9.【证明】因为a0,b0,a+b=1,所以当且仅当即a=2b时“=”成立.,类型二综合法证明数列问题【典例2】(1)(2017温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为的等比数列,则|m-n|=_.,(2)设数列an的前n项和为Sn,满足(3-m)Sn+2man=m+3(nN*).其中m为常数,且m-3,m0.求证:an是等比数列;若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证:为等差数列.,【解题指南】(1)利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m,n.(2)中关键是利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比数列的定义;中利用定义说明,即=常数(n2).,【解析】(1)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0,等价于x2-mx+2=0或x2-nx+2=0.设方程两根分别为x1,x4,方程两根分别为x2,x3.则x1x4=2,x1+x4=m,x2x3=2,x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为的等比数列.所以x1,x2,x3,x4分别,为此数列的前四项且x1=,x4=4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以m=x1+x4=+4=,n=x2+x3=1+2=3,故|m-n|=,答案:,(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减得(3+m)an+1=2man,因为m为常数,m0且m-3,所以所以an是等比数列.,因为b1=a1=1,q=f(m)=所以当nN*且n2时,bn=f(bn-1)=,bnbn-1+3bn=3bn-1,又所以数列是以1为首项,为公差的等差数列.,【延伸探究】本例(2)中若m=1,试求数列an的前n项和.,【解析】若m=1,则由已知得(3-1)S1+2a1=4,所以a1=1,即数列an是以1为首项,为公比的等比数列.所以Sn=2-21-n.,【方法总结】综合法证明数列问题的依据,【巩固训练】在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列.(2)求数列an的前n项和Sn.,【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以因为bn=,所以bn+1=bn+1,所以数列bn是等差数列,其中b1=1,公差为1,(2)由(1)知bn=n,an=n2n-1.因为Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1,所以2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减得Sn=n2n-120-121-12n-1=n2n-2n+1=2n(n-1)+1.,【补偿训练】在等比数列an中,首项a11,公比q0,nN,且n1.求证lgan+1lgan-11).又因为a11,公比q0,nN,且n1,所以lgan-1lgan+1=(lgan)2,所以lgan+1lgan-1(lgan)2.,类型三综合法证明其他问题【典例3】已知sin是sin,cos的等差中项,sin是sin,cos的等比中项.求证:cos4-4cos4=3.,【证明】由已知sin+cos=2sin,sincos=sin2,2-2得4sin2-2sin2=1.又sin2=,sin2=,代入得,2cos2=cos2,所以4cos22=cos22,所以所以cos4-4cos4=3.,【方法总结】综合法证明的关键(1)明确条件:充分寻找题目的条件,可在图形上标注(如立体几何的证明),并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件.(2)关注目标:综合法证明问题一定要结合题目结论,明确证明方向,这样可少走弯路.,(3)注意转化思想的应用.,【巩固训练】1.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求证:A为60.(2)若sinB+sinC=,证明:ABC为等边三角形.,【证明】(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cosA=.所以A=60.,(2)由A+B+C=180,得B+C=120,由sinB+sinC=得sinB+sin(120-B)=,sinB+(sin120cosB-cos120sinB)=.sinB+cosB=.即sin(B+30)=1.,因为0B120,所以30B+30150,所以B+30=90,即B=60,所以A=B=C=60.即ABC为等边三角形.,2.(2017肇庆高二检测)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD平面VBC.(2)求证:AC平面VOD.,【证明】(1)因为O,D分别是AB和AC的中点,所以ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,所以OD平面VBC.,(2)因为VA=VB,O为AB的中点,所以VOAB.连接OC,在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,所以VOAVOC,所以VOC=VOA=90,所以VOOC.因为ABOC=O,所以VO平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACVO.又因为VA=VC,D是AC的中点,所以ACVD.因为VOVD=V,所以AC平面VOD.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结(1)对综合法的四点说明思维特点:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程.,优点:条理清晰,易于表述.缺点:探路艰难,易生枝节.思维过程,