社会统计学(卢淑华),第五章

.,第五讲正态分布、常用统计分布和极限定理,第一节正态分布,一、中心极限定理对于任何变量，不管其分布如何，如果把它们几个加在一起，当n大于一定数之后，那么其和的分布必然接近正态分布。,.,二、正态分布（常态分布、高斯分布）,1、分布密度曲线特征：1）曲线是单峰，有一个最高点2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对称的。（对称轴x=）3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。,.,x,3、正态分布的概率密度,2,22,12,x,e,（和为两个变量）,.,一定：增大，图形右移；减小，图形左,不变，值改变：越小，图形越尖瘦。,4、两个参数不对曲线形态的影响,2移。但形状不变。2,.,的影响,增大，图形右移；减小，图形左移。但形状不变。,.,的影响,越小，图形越尖瘦,.,Exxdx（数学期望）,D,5、不的含义,x2xdx（标准差）,.,三、正态曲线下的面积,我们把正太曲线看做是一种极限的直方图。它的组距甚小，以至中心值顶点的连线已是一条平滑的曲线。而正太曲线下的面积，实际就是由这无数个小直方形拼接而成的。,.,每小块面积=长宽=xixiPxi,xi,面积的概率分析,2,xi2,xi,因此任意两点x1x2曲线下的概率，就是把从x1到x2点所有这些小块面积加起来：x2ix1当xi0，任意两点之间的概率为x2x1,.,取值区间的概率值,任意两点x1,x2间的概率为：,x2x1,正态分布的几个典型取值区间的概率值：，之间：0.68272，2之间：0.95453，3之间：0.9973（为组距）,.,z,z,x,e,x,第二节标准正态分布,xz,一、标准分Z值：Zx2概率密度：122当0，1时,e,2,2,2,12,因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。当0，1时，记做N0,1一般正态分布记做N,2，标准分以均值基点，以标准差为度量,.,例,某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元，标准分为多少？,.,二、正态分布N,2和标准正态分布N0,1面积乊间的对应关系,二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以为轴，后者以0为轴。几个典型取值区间P1z10.6827P2z20.9546P3z30.9973,.,例：,例1：相同而不同。学习成绩：甲位于一班，乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩60分，甲成绩80分，乙成绩80分。相同，为10，比较二者在班上的成绩。例二：相同而不同：如果1260110，220，比较甲、乙的成绩。,.,z,td,第三节标准正态分布表的使用,一、查表方法：附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、6、8列给出的是对应式的,面积,z,e,t,22,12,.,图示,.,例：,1、已知服从标准正态分布N0,1，求,1）P1.3,2）P1.33）P1.32.3,2、满足N0,1，P0.05，求值。3、满足N50,52，求P61,.,2,将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k),第四节常用统计分布一、X2分布（卡方分布）1、设随机变量1，2，k相互独立，且都服从N(0,1)，其平方和：x21222k2的分布密度为：,2,2,k20,k,xk21ek,1k2,x,当x0当x0,.,卡方分布图,分布图形：偏左侧分布，随自由度的增加，图形渐趋对称。,.,x,i,1k,量：,仍然服从自由度为k的X2的平方分布。,卡方分布性质性质1如果随机变量1，2，k相互独立，2,i1,2,2,2,.,性质2：,从自由度为K1与K2的X2分布，则其和服从自由度为K1+K2的X2分布。,如果随机变量和独立，并且分别服,.,例题,已知：k=10，a=0.05，求X20.05(10)=?已知：k=9，a=0.025，求满足p(X2X21-a)=a中的X21-a,.,1,k,k1,22,z,k,二、t分布（学生分布）,的分布密度为：,称之为：自由度为k的t分布,1、设随机变量与独立，且服从标准正态分布，服从自由度为K的X2的分布，则随机变,k,量t,k12k2,tz,.,t分布图,.,2、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称的，当k=时，t分布将趋于标准正态分布（当k30时，分布曲线就差不多相同了）。正态分布是其极限分布。3、查表，对不同自由度k及不同的数,（01)给出满足等式t的t值,.,例题,已知：k=10，a=0.05，求t0.05(10)=,.,则随机变量Fk的分布密度为：,k1k2,k1k2k1k2,22,z,k1zk2z,k2,三：F分布,，k1为第一自由度（分子），k2为第二,自由度（分母）。,1、设随机变量与独立，且都服从X2分布，自由度分别为k1及k2。k12,Fz,k,1,2,k112,2k1k222,0,当Z0当z0,Fk1,k2,.,dxxFFpF,2、F分布的性质：为非对称分布。3、查附表，对不同自由度（k1，k2）及不同的数（01)，给出了满足等式F的F值,.,另一性质,已知：a=0.05，求：F0.95(1015),1Fk2,k1,F1k1,k2,.,第五节大数定理不中心极限定理,1、大数定理：研究在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然事件，即阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理。2、中心极限定理：研究在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布，称中心极限定理。,.,一、切贝谢夫丌等式：,定义：如果随机变量，有数学期望E和D方差，则不论的分布如何，对于任何数，都可以断言，和E的绝对离差大于等于的概率，不超过D2，即,D2,PE,D2,或PE1,.,lim,p,p1,二、贝努里大数定理,1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。那么，对于任何一个正数，有,mn,n,2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随机事件的频率mn有接近其概率的趋势。意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了理论基础。,.,p1,有：lim,n,三、切贝谢夫大数定理,3、实际:意义可以用抽样的均值做为总体均n,1、定义：设随机变量1，2是相互独立服从同一分布，并且有数学期望Ei及方差Di2，那么对于任何一个正数，nn为1，2n个随即变量的平均值2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变量的平均值n与单个随机变量的数学期望的差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大概率来说是正确的，即n趋近于数学期望,.,量，不管其分布如何，只要D,limPnx2,t,ed,四、中心极限定理,1、表述方式：设1，2，k为独立同分布的随