高中数学第二单元平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修4.ppt

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算,第二章2.2向量的分解与向量的坐标运算,学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一平面向量的正交分解,思考,如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？,答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.,答案,梳理,如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为.在正交基底下分解向量叫做.,正交基底,正交分解,思考1,知识点二平面向量的坐标表示,如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?,答案,思考2,答案,在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？,答案对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定.,(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向的两个_e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个e1，e2.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a，其中a1叫做向量a在上的坐标分量，a2叫做a在上的坐标分量.(3)若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y).,梳理,相同,单位,向量,正交基底,a1e1a2e2,(a1，a2),x轴,y轴,知识点三平面向量的坐标运算,思考,答案,设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？,答案ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.,(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab，ab_，a(a1，a2).即两个向量的和与差的坐标等于两个向量；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量_.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.即一个向量的坐标等于向量终点的坐标.(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2).则线段AB中点的坐标为.,梳理,(a1b1，a2b2),(a1b1，,a2b2),(a1，a2),相应坐标的和与差,相应坐标,的积,(x2x1，y2y1),减去始点的坐标,题型探究,类型一平面向量的坐标表示,解答,例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；,解作AMx轴于点M，,AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，,解答,(3)求点B的坐标.,反思与感悟,在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.,解答,跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标.,解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos60，2sin60)，,类型二平面向量的坐标运算,解答,解由已知，得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).,例2已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).(1)求3ab3c；,解答,(2)求满足ambnc的实数m，n的值；,解mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，,反思与感悟,向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,解答,跟踪训练2已知a(1，2)，b(2，1)，求：(1)2a3b；解2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7).(2)a3b；解a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1).,解答,类型三平面向量坐标运算的应用,解答,例3已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若(R)，试求当为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；,解设点P的坐标为(x，y)，,(3，1)(5，7)(35，17).,若点P在第一、三象限的角平分线上，,解答,(2)点P在第三象限内.,当(，1)时，点P在第三象限内.,反思与感悟,(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.,跟踪训练3已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.,3,解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，,答案,解析,故mn253.,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,1.设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b等于A.(7，3)B.(7，7)C.(1，7)D.(1，3),2,3,4,5,1,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,解析设D点坐标为(x，y)，,2,3,4,5,1,答案,解析,A.(7，4)B.(7，4)C.(1，4)D.(1，4),答案,解析,5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.,解析建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4).,2,3,4,5,1,1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由